Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского (МАТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

проектирование и конструирование / Raketno-kosmicheskaya_tekhnika_Mashinostroenie_En.pdf

Скачиваний:

1072

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 10114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	73

этому угловая и линейная скорости
ного движения спутника возрастают,
на тормозящее действие атмосферы.	этом

уменьшение высоты полета приводит к входу спутника в плотные слои атмосферы, а в слу чае неуправляемого спуска на поверхность Земли и к его сгоранию.

2.2.2.3. Баллистические модели движения ИСЗ

Движение ИСЗ проходит под воздействи ем множества сил различной природы: притя жение Земли, гравитационные силы от внеш них небесных тел (Луны, Солнца, планет и т.п.), световое давление на поверхность спут ника и аэродинамические силы сопротивления атмосферы Земли. Кроме того, в отдельных случаях имеют существенное значение в дви жении спутника и менее заметные («малые») факторы, например, электродинамические си лы, возникающие при движении ИСЗ в маг нитном поле Земли. Необходимо упомянуть и дополнительные силы «случайной природы», связанные, в частности, с реализацией управ ления движением ИСЗ с помощью корректи рующих маневров или с возможными столкно вениями с мелкими космическими объектами

в околоземном пространстве	(«космическим
мусором»), и пр.
Влияние каждой из	х сил на
движение спутника зависит	размера и фор

мы орбиты, ориентации и конструкции КА в пространстве, временн х факторов и т.д. На пример, при движении ИСЗ на низких орби тах (до 1500 км) заметную роль играет атмо сферное торможение и другие аэродинамиче ские силы, приводящее к значительным изме нениям орбиты. Их воздействие на порядки выше, чем возмущения от притяжения Луны и Солнца, давления светового потока на поверх ность КА. Кроме того, торможение в атмосфе ре существенно изменяет орбиту спутника и этим определяет продолжительность его суще ствования. В то же время для высоких орбит ИСЗ плотность атмосферы настолько снижа ется, что может не приниматься во внимание, а гравитационное влияние Луны и Солнца, действие светового давления растут, становясь очень существенными в движении спутника. Для каждой конкретной орбиты и поставлен ной задачи можно провести анализ сил, необ ходимых для учета в движении ИСЗ при тре буемой точности. На основе подобного анали за формируется силовая модель, принимаемая в расчет движения спутника.

Можно констатировать, что в силовых моделях для всех орбит ИСЗ необходимо принимать во внимание гравитационное по ле Земли с учетом его нецентральности, вы зываемой геометрическим отличием формы Земли от сферической и неравномерным распределением масс внутри Земли. Осо бенно важно даже для высоких орбит гео стационарных спутников, где высота h − 35 786 км влияние второй зональной гар моники J2 c20 , отражающей динамическое сжатие Земли.

Удаление от центра Земли снижает вели чину возмущений от нецентральности ее поля тяготения, особенно для высоких степеней n гармоник разложения {cnm, dnm}. Поэтому для высоких орбит можно снижать размер N M модели гравитационного поля Земли, но при этом растет влияние притяжения Луны и Солнца, а также светового давления, где необ ходимо учитывать с высокой точностью и те невые эффекты.

К «малым» возмущениям в большинстве случаев следует причислить возмущения, свя занные с приливными деформациями плане ты, а также давление отраженного от Земли светового потока, электромагнитные силы, эффект Пойнтинга–Робертсона, релятивист ские эффекты и пр. Создаваемые ими ускоре ния обычно имеют порядок 10 10 ...10 7 см / с2. Как уже отмечалось выше, каждый случай су щественно зависит от характеристик орбиты, спутника, задачи, и поэтому его нужно рас сматривать отдельно при моделировании дви жения ИСЗ.

Модель движения спутника включает в себя силовую модель, расписание возможных коррекций траектории с помощью импульс ных или продолжительных маневров, реактив ных двигателей малой тяги, «световых пару сов» и др., что также может быть учтено в обобщенной силовой модели, а также методы расчета движения ИСЗ.

Как аналитический, так и численный подходы к решению уравнений небесной механики основаны на приближении реше ний отрезками каких либо рядов, однако в их построении есть принципиальная раз ница.

При численном подходе можно исполь зовать наиболее полную силовую модель с учетом полного состава возмущающих фак торов. Это позволяет достигать высоких сте пеней точности расчета движения КА. Ап

74	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

проксимация осуществляется в виде различ ных модификаций отрезка ряда Тейлора на интервале времени, значительно меньшем одного оборота спутника. Коэффициенты разложения, что очень важно, вычисляются исходя из начальных условий уравнений движения. Поэтому полученное решение — частное, а численные методы иногда называ ют методами частных или специальных воз мущений.

Движение ИСЗ можно описать в различ ных системах координат. От выбора конкрет ной системы координат зависит как сложность алгоритма вычисления правых частей уравне ний движения, так и эффективность работаю щего численного метода. Для ИСЗ, движение которого можно рассматривать без учета влия ния Луны и Солнца, наибольшее применение имеет Гринвичская вращающаяся система ординат. К ее основным преимуществам мож но отнести несложный алгоритм правых час тей дифференциальных уравнений и простоту формул для расчета различных параметров ор биты.

Однако при численном интегрировании требуется выбирать небольшой шаг интегри рования, что снижает быстродействие расче тов. Впрочем, для низкоорбитальных ИСЗ выбор других систем координат или наборов параметров численного интегрирования (ко ординат или элементов орбиты) обычно не приводит к выигрышу в скорости вычисле ний. Для высоких орбит ИСЗ необходимо учитывать возмущающее воздействие Луны и Солнца. В связи с этим наиболее целесооб разно использовать систему уравнений в инерциальной геоцентрической системе ко ординат.

Численные методы расчета, их точность и быстродействие в значительной мере зави сят от характеристик орбит спутников, осо бенно от эксцентриситета e. Сингулярность уравнений движения ИСЗ в окрестности на чала координат для высокоэллиптических орбит приводит к сильным и неравномер ным изменениям функций правых частей уравнений, что требует постоянного измене ния шага интегрирования и, как следствие, ведет к непроизводительным затратам ком пьютерного времени. Кроме того, решения уравнений неустойчивы по Ляпунову даже в невозмущенном случае, что приводит к уси лению ошибки усечения аппроксимирующей формулы численного метода. Для орбит с

большим эксцентриситетом применяют ме тоды интегрирования с автоматическим вы бором шага [10].

Разработано большое количество различ ных численных методов интегрирования диф ференциальных уравнений, которые можно разделить на две группы. Методы первой группы основаны на разложении функции правых частей в ряд с последующей записью аналитического выражения для переменной на следующем шаге интегрирования, сохраняя производные высших порядков. Эти произ водные определяют либо аналитически, либо численным дифференцированием исходного уравнения. Среди численных методов данной группы можно назвать методы Адамса, Коуэл ла, Штермера и др.

Методы второй группы в разложениях не включают в ряды производные высших порядков для переменной на следующем ша ге вычислений. Однако меняется схема вы числений, когда на каждом шаге несколько раз вычисляются первые производные, т.е. осуществляется последовательное улучшение искомой переменной. К таким методам от носятся методы Рунге–Кутта различных по рядков.

Значительное развитие получили также специализированные методы численного тегрирования, использующих характеристи ки поставленных задач, рассматриваемых орбит, интервалов прогнозирования и т.д., например, методы Энке, Милна, Стеффен сона и пр.

В отличие от численного аналитический подход позволяет строить ряды, аппроксими рующие решение на значительных интервалах времени от одного до нескольких тысяч вит ков спутника. Кроме того, аналитическая ап проксимация хотя и может зависеть от типа орбиты, но никогда напрямую не связана с начальными условиями уравнений движения. В связи с этим аналитические методы иногда называют методами общих возмущений. Од нако решение задачи прогнозирования дви жения КА с полной силовой моделью прак тически невозможно, и применение каждой отдельной теории движения ограничено кон кретным классом орбит. Поэтому получен ные аналитические решения отвечают зада чам движения ИСЗ в неполной или упрощен ной постановке и с учетом определенных до пущений о составе действующих возмуще ний.

ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	75

Вобщем случае система дифференциаль ных уравнений движения ИСЗ в конечном ви де не интегрируется. Поэтому при разработке аналитических методов прогнозирования при меняют различные способы получения при ближенных решений. При этом создается про межуточная орбита, вдоль которой рассчиты ваются возмущения орбитальных элементов, вызываемые неучтенными составляющими си ловой модели.

Вкачестве промежуточной орбиты можно выбрать кеплерову орбиту, учиты вающую только потенциал центрального по ля тяготения. Такую промежуточную орбиту часто рассматривают в разработанных ана литических теориях. Но сильное влияние ди намического сжатия Земли, описываемого второй зональной гармоникой (коэффициент

которой J2), подталкивает к учету промежу точной орбиты и этой составляющей. Это возможно, поскольку обобщенная задача двух неподвижных центров, сформулирован ная и решенная Е.П. Аксеновым, Е.А. Гре бениковым и В.Г. Деминым [2, 3, 7], обеспе чивает аппроксимацию гравитационного по ля Земли с точным учетом зональными гар

мониками J2, J3 , отражающей экваториаль ную асимметрию поля, и частично J4 геопо тенциала. При этом задача допускает реше ние в квадратурах. Существуют и другие (не кеплеровые) промежуточные орбиты, ис пользуемые в аналитических теориях других возмущающих факторов: высших гармоник потенциала, сопротивления атмосферы, гра витационных влияний Луны и Солнца, све товое давление и др.

Наибольшее распространение при ана литическом расчете орбит ИСЗ нашли мето ды, основанные на приближенном интегри ровании уравнений типа Лагранжа или кано нических уравнений типа Гамильтона для

консервативны	. Главная трудность при
аналитическом	ходе состоит в представ
лении правых	уравнений движения в
виде явных	времени. Это достига

ется путем разложения возмущающей функ ции в ряд пуассоновского типа. Построение точных аналитических аппроксимаций очень трудоемко, особенно сложен учет неконсер вативных сил, например, атмосферного тор можения спутника. Разработка общей анали тической теории движения, пригодной для любых типов орбит, — задача практически нереальная, так как именно тип орбиты, ее

размер (большая полуось a) и форма (экс центриситет e), определяют структуру анали тической теории.

Для низких орбит ИСЗ аналитические теории могут давать хорошую точность лишь на небольши интервалах времени, что связа но с диссипативным эффектом атмосферного сопротивления. Кроме того, в аналитических методах учитывать непрогнозируемые параметры силовой модели. Например, плот ность атмосферы в значительной мере зависит от световой активности Солнца и геомагнит ной возмущенности. Изменение их индексов непредсказуемо, и поэтому невозможно моде лировать «в будущее» (интегрировать вперед во времени, в даты, которые еще предстоят) в аналитических теориях. То же можно сказать и о другом возмущающем факторе — световом давлении. Есть и упомянутые в начале этого раздела силы случайной природы. Поэтому логично попробовать использование аналити ческих методов, но с постоянным обновлени ем модели движения, в том числе силовой мо дели, спутника.

К такому подходу относятся числен но аналитические (полуаналитические) тео рии, проводящие аналитический расчет движения в некотором шаге интегрирова ния с дальнейшим суммированием получае мых возмущений элементов орбиты. Суще ствуют теории, использующие методы по виткового суммирования, где шаг интегри рования равен одному обороту спутника во круг Земли.

Другой вариант численно аналитических теорий основан на применении усредненных уравнений движения, которые получают из уравнений Лагранжа методом усреднения пра вых частей уравнений. Усреднение может про водиться как одинарное (за виток), так и двой ное (за долгий период возмущения, например, за сутки). При этом дальнейшее интегрирова ние, обычно численное, этих усредненных уравнений проводится для средних элементов орбиты. Обратный переход от средних элемен тов к оскулирующим осуществляется с помо щью менее точных соотношений, поскольку рассматривает короткопериодические возму щения.

Численно аналитические (полуаналити ческие) методы часто оказываются эффектив ней численных и аналитических методов с точки зрения быстродействия и точности рас четов, например, в задачах проектирования

поля) имеет вид r

76	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

миссии, где необходимо рассмотреть огром ный набор различных начальных или краевых условий для выбора схемы миссии на больших интервалах времени.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Ос новные задачи 3 е изд. М.: Наука, 1975. 799 с.

2.Аксенов Теория движения искус ственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 360 с.

3.Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352 с.

4.Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, под ред. Г.Н. Дубо шина, 2 е изд., М.: Наука, 1976. 862 с.

5.Субботин М.Ф. Введение в теоретиче скую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

6.Брауэр Д., Клеменс Д. Методы небесной механики: пер. с англ. М.: Мир, 1964. 515 с.

7.Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые ка чественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. 444 с.

8.Лидов М.Л. Эволюция орбит искусст венных спутников планет под действием грави тационных возмущений внешних тел// Искус ственные спутники Земли. 1961. Вып. 8. С. 5.

9.Эльясберг П.Е. Введение в теорию по лета искусственных спутников Земли. М.: Нау ка, 1965. 540 с.

10.Бородовицына Т.В. Современные чис ленные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

2.2.3.ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ИСБЛИЖЕНИЕ ИСЗ

Относительное движение в окрестности круговой орбиты

Уравнение движения ЛА в геоцентриче ской инерциальной системе координат (в пред положении центральности гравитационного

. r u, где r — радиус | r |3

вектор; . — произведение гравитационной по стоянной на массу Земли, . ~ 398 600 109 м3/с2; u — вектор ускорения, сообщаемого ЛА, на пример двигателем.

Рассмотрим движение двух ЛА, причем будем считать, что один из них (назовем его пассивным) движется по невозмущенной кеп

леровой орбите, а другой (активный, или ма неврирующий) — по орбите, которая может отличаться от первой как за счет начального рассогласования между орбитами, так и за счет действия возмущающего ускорения [1]. Урав нения движения этих ЛА соответственно:

r	.	r	0;	r	.	r	u. (2.2.66)
п	\| r \|3 п			а	\| r \|3 а
	п				а

Введем понятие вектора относительной дальности между ЛА d ra rп и получим уравнения относительного движения.

В исходной инерциальной системе коор динат d ra rп или в соответствии с (2.2.66)

| r |3 а

| r |3 п

= d

(2.2.67)

| r d |3

| r |3

Предположим, что пассивный ЛА дви жется по круговой орбите радиуса R | rп |, и осуществим перевод уравнения (2.2.67) из ис ходной инерциальной системы координат в орбитальную систему, начало которой совпа дает с центром масс пассивного ЛА и которая вместе с ним вращается в инерциальном про странстве с угловой скоростью орбитального

движения ; . .

Орбитальная система координат (ОСК) является декартовой (рис. 2.2.2), ее ось Ох на правлена вдоль орбитальной скорости пассив ного ЛА, ось Оy — вдоль геоцентрического ра диус вектора пассивного ЛА, а ось Оz допол няет систему до правой.

Вектор относительной дальности между ЛА, вектор скорости изменения этой дально

Рис. 2.2.2. Орбитальная декартова объектоцен трическая система координат

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СБЛИЖЕНИЕ ИСЗ	77

сти, геоцентрический радиус вектор пассив ного ЛА и вектор его угловой скорости име ют в ОСК соответственно следующие компо ненты:

rп

y ; r

; R

R ; w

0 .

;

Зависимость между относительными уско

рениями в инерциальной системе и ОСК опи сывается выражением d r 2w r w (w

которое после проведения операций векторно го умножения принимает вид

	x	;y	;2 x
				2
d	y	2 ;x		; y .

	z	0		0

Учитывая зависимости . ;2R3 и \| rп

d \| \| R r \| x 2 (R y)2 z2 ,			получаем
из (2.2.67) дифференциальные			уравнения

относительного движения в покомпонент ной форме:

x 2;y ;2 x

;2R3

ux ;

[ (R y)2 x 2 z2 ]3

y 2;x ;

(R y)

;2R3

(y R) uy ;

[ (R y)2 x 2 z2 ]3

;2R3

uz .

[ (R y)2 x 2 z2 ]3

(2.2.68)

Система (2.2.68) является системой точ

ных

дифференциальных

уравнений

ния активного ЛА относительно

в ОСК, которая движется вместе с

ным ЛА по круговой орбите. Орбита,

рой связана ОСК, обычно называется опор ной орбитой.

Предполагая, что компоненты вектора от носительной дальности r малы по сравнению с

величиной R, разложим выражение [(R y)2x2 z2)] 3/2 в ряд и ограничимся несколькими

членами этого разложения:

			[(R y)2 x2 z2)] 3/2
1		1 3		y	3		(x 2 z2 4y 2) ... .
	3					2
R				R	2R

В соответствии с полученным разложени ем система (2.2.67) приводится к виду

	2	xy
x 2;y 3;			... ux		;
x 2;y 3;		R	... ux		;
		R
				2 x 2	z2 2y 2
	2		3	2 x 2	z2 2y 2
y 2;x 3; y				;		... uy ;
y 2;x 3; y			2	;	R	... uy ;
			2		R
2	2	zy
z ; z 3;			... uz .
z ; z 3;		R	... uz .
		R

(2.2.69)

Если в системе (2.2.69) оставить только записанные члены разложения, то получится система второго приближения к точной систе ме (2.2.68), поскольку в ней учтены члены до второго порядка относительно компонент век тора r.

Первое или линейное приближение к

(2.2.69) имеет вид:
x 2;y ux ;
		(2.2.70)
y 2;x 3;2y uy ;		(2.2.70)
z ;2 z uz .
z ;2 z uz .

Наиболее простой вид решения системы (2.2.70) имеет место при отсутствии возму щающего ускорения (u 0) или при постоян стве величины ускорения и задании специаль ного закона ориентации его вектора:

–в ОСК постоянна, т.е. изменяется от носительно инерциального пространства с уг ловой скоростью вращения ОСК;

–в инерциальном пространстве посто янна, т.е. изменяется в ОСК с угловой ско ростью, обратной угловой скорости враще

ния ОСК.

Решение системы (2.2.70) при u 0, соот ветствующее случаю невозмущенного относи тельного движения, имеет вид:

x xo 6(sin;t ;t)yo

sin;t 3t )xo

% ;

(

(1 cos;t)y

;

y (4 3cos

;t)y

(1 cos

;t)x

sin;t

;

z cos;t z

sin;t z

;

(4cos;t 3)x

2 sin;t y

;

x 6;(1 cos;t)y

y 3;sin;t yo 2 sin;t xo cos;t yo;

z ;sin;t zo cos;t zo,

(2.2.71)

78	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

где R0 (xo, yo, zo, xo, yo, zo)т — вектор со стояния относительного движения в началь ный момент t 0; R (x, y, z, x, y, z)т — век

тор состояния, характеризующий относи тельное движение в произвольный текущий момент t.

Более удобно и компактно решение (2.2.71) может быть записано в матрично век торном виде

R MtRo,

(2.2.72)

где Мt — матрица коэффициентов размера 6 6 при компонентах начального вектора состоя ния Ro в (2.2.71).

Матрицу Мt называют матрицей прогно4 за, поскольку она осуществляет операцию преобразования начального вектора состояния Ro в вектор состояния R, соответствующий интересующему нас моменту (в будущем или в прошлом). Элементы матрицы для заданной опорной орбиты — функции лишь времени прогноза t.

Особенностью решения системы линей ного приближения (2.2.71) является незави симость уравнений, характеризующих дви жение в плоскости опорной орбиты (компо ненты x, y), и уравнений, описывающих бо ковое движение (компонента z). В случае возмущенного относительного движения при специальном законе ориентации возмущаю щего ускорения решение системы диффе ренциальных уравнений (2.2.70) также может быть представлено в матрично векторном виде

R MtRo Atu,

(2.2.73)

где Мt — матрица прогноза при невозмущенном относительном движении; At — матрица разме ра 6 3, элементы которой являются функциями времени прогнозирования и имеют различный вид для каждого из двух указанных выше зако нов ориентации вектора возмущающего уско рения.

Относительное движение двух ЛА мож но рассматривать и в других системах коор динат. При этом попытка получать аналити ческое решение также приводит к необходи мости принятия допущения относительной малости компонент вектора относительной дальности.

В частности, можно рассматривать отно сительное движение в орбитальной цилиндри4 ческой системе координат (ЦСК). Начало

Рис. 2.2.3. Орбитальная цилиндрическая объек тоцентрическая система координат

О этой системы координат (рис. 2.2.3) связано с центром масс пассивного ЛА, а положение активного ЛА относительно пассивного харак теризуется смещением вдоль дуги опорной ор биты x R, где R |rп|, высотным отклоне нием от опорного движения y |rа| R и боко вым отклонением z. Очевидно, что при доста точно малых значениях угла компоненты вектора относительного положения в ОСК и ЦСК практически совпадают.

Интересным является тот факт, что ре шения систем линейного приближения в ОСК и ЦСК идентичны, отличаясь лишь трактовкой компонент вектора состояния. Однако при получении системы линейного

приближения в ЦСК проводится разложение в ряд выражения [(R y)2 z2] 3/2 и делается

допущение о малости компонент y и z отно сительно R, но не принимается никаких огра ничивающих допущений о величине компо ненты x. Этот факт очень существенен, по скольку во многих практических задачах рас согласование в положениях ЛА вдоль дуги опорной орбиты может составлять сотни и тысячи километров, т.е. может быть вполне соизмеримым с величиной R. Отсюда следует естественный и полезный вывод: допустимая область применения решения системы ли нейного приближения при трактовке вектора состояния в декартовой системе существенно более ограничена, и в случаях, когда рассо гласование в положениях ЛА вдоль дуги опорной орбиты достаточно велико, трактов ка вектора состояния в ЦСК позволяет полу чать результаты прогнозирования с меньши ми погрешностями.

До сих пор, говоря об относительном движении двух ЛА, полагали, что орбита одно го из них является круговой, хотя полученные

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СБЛИЖЕНИЕ ИСЗ	79

результаты можно использовать и для описа ния относительного движения двух ЛА, каж дый из которых движется по эллиптической орбите. Действительно, пусть два ЛА движутся по эллиптическим орбитам и пусть для них можно указать такое фиктивное опорное кру говое движение и такую связанную с ним ОСК, что будут выполняться все необходимые условия для решения задачи в линейном при ближении, т.е. соответствующие отклонения координат двух ЛА от начала системы отсчета будут достаточно малы. Это одновременно оз

ималость рассогласований координат

хЛА. Для каждого ЛА можно записать уравнение прогноза:

R1 Mt R01, R2 Mt R02,

где Мt — матрица прогноза, элементы которой являются функциями времени прогноза и уг ловой скорости опорного движения; R01 и R02 — векторы состояния относительных дви жений летательных аппаратов в начальный момент времени; R1 и R2 — векторы состоя ния относительных движений ЛА в конечный момент времени.

Из разности этих уравнений получается:

r R1 R2 Mt R01 Mt R02 Mt(R01 R02) Mt r0,

где ro и r — векторы состояния движения перво го ЛА относительно второго в начальный и ко нечный моменты времени соответственно.

Завершая описание линейной теории относительного движения, остановимся на свойствах матрицы прогноза Mt уравне ния (2.2.72). Запишем это уравнение в виде

rк	M	r0	, где	r0	и	rк	— векторы со
		к 0
vк		v0		v0		vк

стояния относительного движения соответ ственно в начальный момент t0 и конечный момент tк; Мк0 — матрица, осуществляющая прогноз вектора состояния на временн й

интервал (tк t0).

Получим вектор состояния в момент tк иным образом, осуществив сначала прогноз на промежуточный момент t1 Ε [t0, tк] и продол

его затем до момента tк:

rк

M M

к1

vк

Таким образом, результирующая матрица прогноза Мк0 на временн й интервал (tк t0)

есть результат произведения матриц прогноза Мк1 и М10 при осуществлении прогноза после довательно на интервал (t1 t0) и затем на ин тервал (tк t1). Этот вывод можно обобщить следующим образом:

Мк0 Мк,к 1М к 1,к 2…М20М10.

До сих пор рассматривался прогноз век тора состояния относительного движения на некоторый момент в будущем, но прогноз мо жет быть осуществлен и на заданный момент в прошлом. Для этого достаточно определить элементы матрицы прогноза М(t) для отрица

тельного временн го интервала. При этом М( t) M 1(t).

При решении ряда задач может оказаться более удобным рассматривать относительное движение в какой либо системе координат, отличающейся от использованных нами орби тальных вращающихся систем (ОСК или ЦСК). Если преобразование вектора состоя ния R при переходе к новой системе коорди нат является линейным и задается постоянной матрицей А (r AR), то легко получить матри цу прогноза относительного движения в новой системе координат:

rt ARt AMt R0 AMt A 1r0 Nt r0,

где Nt AMt A 1.

В качестве примера подобного преобразо вания укажем на преобразование «заморажива ния» вектора состояния, заданного в ОСК. В результате такого преобразования мы прихо дим к ОСКЗ (ОСК «замороженная»), оси кото рой в любой момент времени совпадают с ося ми ОСК и вместе с тем в каждый текущий мо мент неподвижны относительно инерциального пространства. Матрицу А этого преобразования можно представить в блочном виде:

E	0	1	0	0	0	;	0
			1			0
A	, где E	0		0 ; AV	;		0 .
AV	E	0	0	1	0	0	0

Результат преобразования вектора состоя ния R, заданного в ОСК, предстанет в виде

r (х, y, z, Vх, Vy, Vz)т A(x, y, z, x, y, z)т AR.

где Vх, Vy, Vz — скоростная часть вектора r в «за мороженной» ОСК.

Исходя из характера преобразования, можно сказать, что вектор состояния r есть ре

80	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

зультат проектирования разности абсолютных векторов состояния возмущенного и опорного движения на оси ОСК.

Матрица прогноза Nt, полученная по формуле Nt AMt A 1, дает следующий аналог решения (2.2.71) для ОСКЗ:

где Bк1 и Aк1 — матрицы размера 6 3. Тогда по правилу умножения блочных матриц:

	0	[Bк1		0	Aк1 V1. (2.2.74)
Mк1		[Bк1	Aк1]		Aк1 V1. (2.2.74)
V1			V1

(cos;t 1)V

x (2cos;t 1)x

(2 sin;t 3;t)y

sin;t

3t )V

;

(

x 0

;

y sin;t x0 (2

cos;t)y0

(1 cos;t)Vx 0

sin;t

Vy 0 ;

;

z cos;t z0

sin;t Vz 0 ;

;

;sin;t x0 ;(cos;t 1)y0 (2cos;t 1)Vx0 sin;t Vy 0 ;

;(1 cos;t)x

;(3;t sin;t)y

(3;t 2 sin;t)V

(2 cos;t)V

;

;sin;t z0 cos;t Vz0 .

Уравнение коррекции

Воспользуемся результатами предыдуще го и выясним, как меняются характе ристики относительного движения при им пульсном изменении относительной скорости движения ЛА.

Пусть в некоторый момент t1 относитель ное движение характеризуется вектором состоя

ния r1 и пусть в этот же момент импульсным

образом скорость ЛА меняется на V1. Запишем уравнение прогноза вектора со

стояния для случаев приложения импульса и без него:

rк

к1

! rк

;

к1

Vк

# Vк

rк	M	r1	.
		к1
Vк		V1

Из написанных уравнений видно, что ре зультат прогноза возмущенного (импульсом) век тора состояния отличается от результата прогноза исходного невозмущенного вектора на спрогно зированную величину возмущения. Рассмотрим более подробно выражение для результата про

0 гноза возмущающего импульса Mк1 .

Представим матрицу Мк1, имеющую раз мер 6 6, в блочном виде:

Мк1 [Bк1 Aк1],

Обратимся, например, к первому уравне нию системы (2.2.71) и запишем его для слу чая прогноза от момента t1 на момент tк в сле дующем виде:

xк ax1 x1 ax 2y1 ax 3 z1 ax 4 x1 ax5 y1 ax 6 z1.

Производные хк по скоростным парамет рам x1, y1, z1 есть соответственно коэффициен ты ax 4 , ax5 , ax 6 , которые можно трактовать как компоненты вектора

)т

0xк

, a

)

grad x

x 4

x 6

0x1

0y1

0z1

)

(

Аналогичным образом можно рассмот реть все уравнения системы (2.2.71) и полу

		grad xк
	Aк1
чить, что	Aк1		. Матрицу Aк1	назы
		grad zк

вают матрицей влияния, поскольку она ставит в соответствие скоростному возмущению в мо мент t1 «отклик» на это возмущение в момент tк, или другими словами, определяет степень

влияния возмущающего воздействия						вектор
состояния в момент tк.
Результат		возмущающего
импульса V1 на вектор состояния в						tк
может быть записан в виде
	r	gradx		V
	к		к		1
		Aк1 V1				, (2.2.75)
Vк		gradzк V1

т.е. возмущение каждой компоненты вектора состояния определяется скалярным произве

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И СБЛИЖЕНИЕ ИСЗ	81

дением соответствующего градиента на век тор импульса. Очевидно, что максимум воз мущающего воздействия импульса будет иметь в случае, когда градиент и V1 коллинеарны

Таким образом, i я строка матрицы Aк1 задает направление, оптимальное для измене ния i й компоненты вектора состояния в мо мент tк. Это направление называется направ лением оптимальной коррекции i й компо ненты.

Если нас интересует изменение i й и j й компонент вектора состояния в момент tк, то можно говорить о плоскости оптимальной коррекции, которая представляет собой плос кость, натянутую на градиенты i й и j й строк матрицы Aк1. С другой стороны, если импульс направлен вдоль прямой, ортогональной к плоскости оптимальной коррекции, то скаляр ные произведения этого вектора и соответст вующих градиентов равны нулю, т.е. равны нулю и возмущения i й и j й компонент векто ра состояния. Такое направление называют нуль направлением для i й и j й компонент.

Рассмотрим теперь в рамках линейной теории относительного движения двух ЛА сле дующую схему полета. Пусть в начальный мо

мент времени t0 задан вектор состояния V0

относительного движения; в моменты t1 и t2 текущий вектор состояния меняется за счет приложения импульсов скорости V1 и V2. Определим вектор состояния относительного движения в момент tк. Условное представле ние схемы с двумя корректирующими импуль сами дано на рис. 2.2.4.

Применяя		последовательно		уравнение
прогноза и используя форму				аналогич
ную (2.2.74), приходим к уравнению
r		r		0
к	Mк 2M21M10 0		Mк 2M21
Vк		V0		V1

	0	r		0		0
+Mк 2		Mк 0 0	Mк1		Mк 2
V2		V0	V1		V2

r	Aк1 V1	Aк2 V2.	(2.2.76)
=Mк 0 0	Aк1 V1	Aк2 V2.	(2.2.76)
V0

Таким образом, вектор состояния в мо мент tк есть результат суперпозиции прогноза на этот момент начального вектора состояния и прогноза возмущающих воздействий им пульсов коррекции. Обобщая полученный ре зультат на случай произвольного числа кор рекций, приходим к уравнению коррекции в общем виде:

r	r	Aк1 Vi . (2.2.77)
к	Mк 0 0	Aк1 Vi . (2.2.77)
Vк	V0	i

Уравнение (2.2.77) является линейным относительно компонент корректирующих импульсов и в покомпонентной записи пред ставляет собой систему шести линейных урав нений с числом неизвестных, равным суммар ному числу компонент корректирующих им пульсов.

Если при решении задачи коррекции до пускается, чтобы i й корректирующий им пульс имел три компоненты ( xi , yi , zi ), то говорят, что проводится трехкомпонентная коррекция. В ином случае коррекция может быть двух или однокомпонентной.

Если при определении компонент каждо го корректирующего импульса задача коррек ции решается так, что не учитывается возму щающее воздействие всех прочих импульсов, т.е. решается изолированная задача, то гово рят, что решается задача несвязанных коррек ций. Примером такой задачи может быть зада ча последовательного исправления ошибок движения по мере улучшения знания характе ристик движения.

Если компоненты всех корректирующих импульсов определяются одновременно при

Рис. 2.2.4. Схема полета с двумя корректирующими импульсами

82	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

решении уравнения коррекции, то говорят, что решается задача связанных коррекций. В этом случае каждый из корректирующих им пульсов вносит свой определенный вклад в из менение вектора состояния в конечный мо мент времени и характер этого вклада выясня ется только после решения уравнения коррек ции.

Задача сближения

Решение задачи сближения или встречи на орбите существенным образом зависит от ее исходных данных (начальные фазовое и вы сотное рассогласования между ЛА, протяжен ность участка сближения) и схемы полета, принятой для решения задачи. Практика не только порождает многообразие исходных данных, но и выдвигает довольно жесткие тре бования и ограничения к реализации сближе ния. Ко всему этому многообразию и всем ог раничениям должен быть готов математиче ский аппарат решения задачи сближения, краткое описание которого будет представлено далее. Воспользуемся для этого теорией отно сительного движения двух ЛА и уравнением коррекции (2.2.77):

	r	r		r
Aкi Vi к			к	Mк 0	0	.
i	V	V	к	V	0
i	к		к		0

Целью решения задачи сближения яв ляется получение в конечный момент време

rпр

ни tк вектора , который при

Vпр

нято называть прицельным. Если он имеет

0 вид , то говорят, что решается задача

Vпр

0 встречи, или перехвата, если вид — задача

0 мягкой встречи. Часто по каким либо при

чинам может оказаться нецелесообразным или просто невозможным обеспечить кор ректирующими импульсами получение за данного прицельного вектора абсолютно точно. Тогда вектор невязки между фактиче ски получающимся вектором состояния в момент tк и заданным прицельным векто

ром		r	r	r	называют вектором
ром			к	пр	называют вектором
	V		Vк	Vпр

промаха.

Пусть в уравнении коррекции задан при цельный вектор и требуется определить им

пульсы Vi, обеспечивающие получение этого вектора. Задача определения импульсов сво дится к решению системы шести линейных уравнений, представленных ниже. Сокращен ная запись шести уравнений в покомпонент ной форме имеет вид

... ai

... x i ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . .

(2.2.78)

a1 y

a1 z

... ai

ai y

... zi ,

где V

( x

, y

, z )т ;

|| ai

— элементы

матрицы влияния Акi (n 1, …, 6; m 1…3). Из теории систем линейных уравнений

известно, что система может быть совместна (имеет хотя бы одно решение) и несовместна (не имеет решений). Если совместная система имеет одно решение, она является определен ной, если множество — неопределенной. При решении задачи сближения можно столкнуть ся с любым из перечисленных случаев, но в любом из них решение задачи должно быть найдено. Это означает, что если система несо вместна, то должно быть найдено ее прибли женное решение. Если она совместна, но не определенна, то из множества возможных ре шений для реализации в полете должно быть выбрано только одно.

Если число импульсов коррекции более двух, то можно рассматривать задачу опти мального линейного сближения, например, с функционалом:

k
F min \| Vi \|.	(2.2.79)

i 1

Хотя система (2.2.77) является линей ной, в целом такая задача оптимизации яв ляется нелинейной, поскольку функционал (2.2.79) нелинеен. Даже при фиксирован ных местах приложения корректирующих импульсов в силу нелинейности функцио нала задача не позволяет получить опти мальное решение в явном виде. Однако, как показал М.Л. Лидов Φ2Γ, она является зада чей выпуклого программирования, и для ее решения можно использовать аналог моди фицированного сиплекс метода. Эта идея оказалась весьма плодотворной и послужи ла основой создания методов решения задач сближения. При этом можно использовать

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 10114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке проектирование и конструирование

#
09.03.2016384.07 Кб62GOST_R_53802-2010_Sistemy_i_komplexy_kosmichesk.pdf
#
09.03.2016534.76 Кб53malkov-npo.pdf
#
09.03.201614 Mб1072Raketno-kosmicheskaya_tekhnika_Mashinostroenie_En.pdf
#
09.03.20163.76 Mб87Ustroystvo_kosmicheskikh_apparatov.pdf
#
09.03.201689.48 Кб47Voprosy_k_ekzamenu_246_gr.pdf