Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

64	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

перицентра ; и истинной аномалии , которая называется аргументом широты u ;.

Аргумент широты u представляет собой угол от линии апсид до направления на НТ. Этот параметр особенно эффективен при рас смотрении круговых орбит, где перицентр, следовательно, и аргумент перицентра являют ся неопределенными. Положение линии апсид иногда определяют относительно направления Fx. Для этого вводят угол ;, называе мый долготой перицентра.

Углы i и полностью определяют плос кость орбиты в пространстве, а аргумент пери центра ; задает ориентацию орбиты на плос кости. Орбитальные элементы p, e,i, ,;,u не возмущенного движения определяют орбиту независимо от того, является ли она эллипти ческой, гиперболической или параболической. Часто вместо фокального параметра p в соста

ве кеплеровых элементов	употребляют
большую полуось a.
Аргумент широты u	истинная ано

малия , средняя аномалия М и др.) задает положение тела на этой орбите. Но этот па раметр не содержит явного представления времени. Поэтому в качестве шестого кепле рового элемента орбиты часто используют положение НТ на орбите в начальный мо мент времени t0 , например среднюю анома лию M0 в эпоху. Можно также выбирать мо мент времени прохождения тела через опре деленную точку орбиты, например момент времени прохождения через перицентр 9 или через восходящий узел T . Шестой элемент 9 входит в уравнение связи со временем t (см. п. 2.2.1.2).

Координаты положения и скорости НТ

находятся из соотношений:

! x r(cosu cos cosi sinu sin );

y r(cosu sin cosi cosu sin );

z r sini sinu;

c e sin

x

&

x sinu cos cosi cosu sin );

&

p

)

r %

(

c e sin

y

&

y sinu sin cosi cosu cos );

&

p

)

r %

(

c e sin

z

&

z sini cosu ).

.2.14)

&

p

)

#

r %

(

Как было отмечено ранее, в некоторых специальных случаях классические орбитальные элементы становятся неопределенными. Напри

мер, большое количество космических объектов в околоземном пространстве движутся по око локруговым орбитам (с малым эксцентрисите том e), что затрудняет использование таких эле ментов, как аргумент перицентра ; и момент времени прохождения через перицентр 9. По добные же проблемы возникают для околоэква ториальных орбит, где наклонение i близко к нулю. В этом случае слабо определены долгота восходящего узла и момент времени его про хождения T . Потому что все движение проис ходит близ экваториальной плоскости, а значит восходящий узел не является стабильным.

Геостационарные спутники, имеющие огромную значимость в современной практи ке, движутся по околокруговым околоэквато риальным орбитам. Чтобы избежать таких сложностей, движение НТ рассматривается с помощью специальных «несингулярных» (ре гулярных) элементов орбиты. Один из воз можных наборов таких элементов для орбит как с малыми эксцентриситетами, так и с ма лыми наклонениями, имеет вид:

!			i
a, h e sin( ;), k ecos( ;), p tg				sin ,
#			2
	i
q tg		cos ,l ; M .
	2

Геометрически, элементы k и h близки к проекции вектора Лапласа f на экваториаль ную плоскость Fxy для орбит с малыми накло нениями, а элементы 2 p и 2q дают прибли женные значения проекции вектора интеграла площадей c на экватор. Средняя долгота l мо жет интерпретироваться для подобных орбит как долгота текущего положения НТ. Несин гулярные элементы очень эффективны при рассмотрении движения спутника по этим ор битам с учетом их возмущений.

2.2.1.4. Определение орбит в задаче двух тел

Как показано в предыдущем параграфе, положение и скорость НТ, движущегося по орбите задачи двух тел, просто и однозначно определяются на любой момент времени, если известны значения орбитальных кеплеровых элементов.

Рассмотрим обратную задачу: получение элементов орбиты при известных векторах по ложения r и скорости V спутника в определен ный момент времени t. Эта задача также имеет единственное решение, т.е. всегда имеется од нозначное соответствие шести орбитальных

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	65

элементов и начальных значений векторов по ложения и скорости.

Вектор		угловой	скорости c [r V ]
{yz zy ; zx xz ; xy yx} из интеграла					пло
щадей	и его	модуль	c | c | можно		полу
чить из	r {x; y; z} и V {x; y; z}. Так			как его
представление		через	элементы	орбиты
c c{sini sin ; sini cos ; cosi}, то				накло

нение орбиты и долгота восходящего узла подчиняются следующим формулам:

tg i		cx2	cy2	, tg	c	x	.	(2.2.15)
		cz			cy

Здесь следует упомянуть, что выбор квад ранта для i и должен проходить в соответствии с условиями: 05 i 5 180 , sign (cos ) sign ( cy ).

Аналогичным образом, решая уравнения (2.2.14) для положения r НТ относительно cosu и sinu, определяем значение аргумента широты u:

tg u	z / sini		z / c	(2.2.16)
	x cos y sin		cx y cy x

при условии sign (cosu) sign (cx y cy x).

Зная величину модуля c вектора интегра ла площадей из (2.2.9), находится фокальный

параметр:
p c2/ .,	(2.2.17)

где . — гравитационная постоянная притяги вающего центра.

Из интеграла энергии получим значение большой полуоси орбиты:

	2			V 2	1
&					)		(2.2.18)
a &				.	) .
% r					(
Тогда эксцентриситет e вычисляется по
формуле:
e						.
		1 (p / a)					(2.2.19)

Используя соотношения в невозмущен ном движении задачи двух тел r a(1 ecos E); (r,V ) .a e sin E, можно найти значение экс центрической аномалии E:

tg E	(r,V ) /	.a		,	(2.2.20)
	1 r / a

следовательно, и истинной аномалии орбиты:

	sin E	1 e2					(r,V ) /	.a
					e2
tg			1								(2.2.21)
	cos E e					1 e2 r / a

при условии поиска квадранта sign (cos )sign (1 e2 r / a).

Аргумент перицентра ; теперь получа

ется как
; u .	(2.2.22)

Шестой элемент орбиты, связанный с временем, определяется из уравнения време ни. Например, средняя аномалия M в эпоху t, для которой известны r и V, вычисляется из уравнения Кеплера с использованием уже из вестной эксцентрической аномалии E:

M E e sin E.

(2.2.23)

Таким образом получаются все шесть орбитальных элементов, полностью опреде ляющих размеры и форму орбиты, поло жение и ориентацию в пространстве, поло

жение НТ на орбите в заданный	вре
мени.

Для аналитического нахождения шести орбитальных элементов необходимо как ми нимум шесть независимых измерений (уг лов, дистанций, скоростей). Для невозму щенной задачи двух тел разработано множе ство различных аналитических методов оп ределения орбиты. Они традиционно разде ляются на методы типа Лапласа и Гаусса, так как именно эти два ученых в конце XVIII – начале XIX века разрабатывали подобные методы определения орбит НТ Солнечной системы.

Методы типа Лапласа сводятся к полу чению векторов положения и скорости в момент времени, соответствующий середи не интервала наблюдения, после чего их можно конвертировать в орбитальные эле менты, как это показано ранее. Однако по добный подход дает эффективные результа ты только при недлинных интервалах на блюдений, если информация по скорости получается интерполяцией позиционных измерений.

Гаусс рассматривал задачу нахождения орбитальных элементов из трех угловых набо ров, представляющих направление на косми ческий объект (например, азимут и склонение) в разные моменты времени на длительных ин тервалах наблюдений. Первым в таком подхо де можно назвать немецкого ученого Иоганна Герберта Ламберта, сформулировавшего зада чу определения орбиты по двум известным векторам положения спутника, которые могут получаться из измерений расстояния и углов.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

66	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

задача называется задачей Ламберта и рас сматривается ниже.

Обозначим через r1 {x1;y1; z1} и r2 {x2;y2; z2} векторы положения НТ в моменты времени t1 и

t2, причем t1 + t2. Абсолютные значения r1 и r2 этих радиус векторов:

r 2 x 2 y 2 z2, r 2					x 2	y 2	z2.	(2.2.24)
1	1	1	1	2	2	2	2

Рассмотрим вариант, когда интервал вре мени наблюдения меньше половины периода обращения НТ, поэтому разница между аргу

ментами широты u2 и u1, а значит и истинны
ми аномалиями 2 и	1,	меньше 180 :
0+ (u2 u1) ( 2 1)+ 180 .	Это	допущение не

является критическим для решения задачи, поскольку алгоритм расчета схож и для более чем полувиткового интервала при условии, ко нечно, что об этом известно.

Аналогично вышеприведенной схеме по лучения элементов орбиты при известных r, V (2.2.15) вычисляется вектор S [r1 r2]

{y1 z2 z1y2; z1 x2 x1 z2; x1y2 y1 x2}, перпенди кулярный орбитальной плоскости. Далее мож

но определить наклонение i орбиты и долготу восходящего узла :

tg i		Sx2	Sy2	, tg	S	x	. (2.2.25)
		Sz			Sy

Здесь следует напомнить, что выбор квад ранта для i и также должен проходить при ус ловиях: 05 i 5 180 , sign (cos ) sign ( Sy ).

Соответственно, аргумент широты u1 на ходится при решении уравнений (2.2.14) отно сительно cosu1 и sinu1 для положения r1 НТ:

	tg u1		z1 / sini		z1	/| S |	, если
			x1 cos y1 sin		Sx y1	Sy x1

sign (cosu1) sign (Sx y1 Sy x1). (2.2.26)

Отметим, что модуль вектора S равен уд военной площади треугольника, образованно го векторами r1 и r2:

| S | 2 r1r2 sin ( 2 1) r1r2 sin ( ). (2.2.27)

При этом сектор эллипса, образованный этими же векторами r1 и r2 имеет площадь, со гласно второму закону Кеплера пропорцио нальную времени между t1 и t2:

				.
8	c	(t2 t1)		p	(t2 t1).	(2.2.28)
2			2

Обозначим отношение площади сектора 8 к площади треугольника , образованных векторами r1 и r2, символом Χ:

Χ	8			.p			t1)	9						9
						(t2				p								p.
								| S |				r r		sin(
			| S |												2	)
									1				2			1
																(2.2.29)

Для простоты используют еще одно обо

значение «регуляризованного времени»:

9 (t2 t1)..

Отметим также следующее выражение, связывающее разность истинных аномалий со скалярным произведением векторов r1 и r2:

cos( ) (r1, r2). (2.2.30) r1r2

Дальнейшее определение оставшихся орбитальных элементов требует знания зна чения фокального параметра p a(1 e2), ко торый, как видно из (2.2.29), зависит от нахо ждения величины Χ. Гаусс разработал эффек тивный и устойчивый путь для получения этой величины. Для этого он выразил Χ2(Χ 1) и Χ2 через полуразность эксцентрических аномалий (E2 E1) / 2:

Χ2(Χ 1) m

2 sin(2 )

;

(2.2.31)

sin3

m

Χ2

,

l sin2( / 2)

где m 9273 , l

[(r1 r2)7 1]

, 7

1

.

2

r2

(r1, r2))

Исключая из уравнений

2.31), при

ходим к трансцендентному

для Χ:

m

m

Χ 1

W

&

l ),

(2.2.32)

2

2

&

)

Χ

%

Χ

(

1

(2n 4)!!

где функция W (w)

wn .

n 0 (2n 3)!!

Решение (2.2.32) достигается различны ми способами, разработанными в течение по следних двух с лишним столетий. Например, существуют алгоритмы итерационного вы числения значения Χ с помощью «процедуры

	секущих»:
	Χ j 1 Χ j f (Χ j )					Χ j Χ j 1		,
					f (Χ j		) f (Χ j 1)
								(2.2.33)
			m			m
	f (Χ) 1	Χ		W &			l ),
						2
		2			&		)
			Χ		%	Χ	(