2. 1.9.6. Стоячие волны

Стоячая волна – периодические во времени синфазные колебания с характерным распределением амплитуды колебаний: чередованием узлов – областей с амплитудой колебаний равной нулю и пучностей – областей, в которых амплитуда максимальна. Стоячая волна может быть представлена как результат наложения (суперпозиции) двух бегущих навстречу друг другу волн одной частоты.

Пусть источник колебаний помещен в пространственно ограниченную среду и работает постоянно, излучая волны, причем созданы условия для их отражения на границе, например, в заполненной воздухом трубе с закрытым или открытым концом. Предположим, что отсутствует диссипация энергии, так что амплитуда падающей и отраженной волны одинаковы.

Произвольная частица среды, имеющая координату Х, участвует в двух механических колебаниях, возбужденных волнами. Без ущерба для общности положим начальную фазу колебаний источника равной нулю. Смещения частицы в точке с координатой Х, согласно (1.56) и (1.56а) определяются формулами:

Результирующее смещение по принципу суперпозиции равно:

.

Величина колеблется с постоянной во времени циклической частотой, но с зависящей от координаты Х точки наблюдения амплитудой. Амплитуда колебаний равна:

.

Волна, описываемая уравнением (1.75), называется стоячей волной. Легко видеть, что в некоторых точках оси Х, вдоль которой распространяется волна, амплитуда колебаний тождественно равна нулю, т. е. в этих точках отсутствуют смещения частиц. Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узловыми точками или "узлами" волны.

• Узелстоячей волны – точка пространства, в которой амплитуда колебаний тождественно равна нулю.

Используя уравнение (1.76), найдем координаты узлов для стоячей волны. Из условия следует:

,

где n=0,1,2,3… – любое целое число и ноль. Выражая из последнего равенства координаты узлов, имеем:

.

Очевидно, что максимальное значение амплитуды колебаний (А=2а) достигается в точках пространства, координаты которых удовлетворяют условию:

.

Такие точки называются "пучностями" волны.

• Пучностьстоячей волны – точка пространства, в которой амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Найдем координаты пучностей. Из условия (1.78) следует, что

откуда

,

где nлюбое целое число и ноль. Как показывают соотношения (1.77) и (1.79), координаты узлов и пучностей не меняются с течением времени при условии, что длина волны не изменяется. В точках пространства, координаты которых не удовлетворяют условиям минимума и максимума, величина амплитуды колебаний имеет промежуточные значения из интервала [0,2а].

Единство колебаний и волн проявляется в колебательных процессах в струнах, стержнях и трубах. Так, в заполненной воздухом трубе с закрытым или открытым концом устанавливается стоячая волна со следующей картиной расположения узлов и пучностей.

Рис. 1.18. Стоячие волны в струне и трубе

Отметим некоторые особенности стоячей волны. В отличие от бегущей волны, вызывающей последовательно одинаковые смещения частиц среды, смещения частиц в стоячей волне отличаются друг от друга. В бегущей волне все точки имеют различную фазу. Когда одни точки достигают максимального отклонения, другие проходят положение равновесия и т. п. Такую волну можно представлять себе как синусоиду, движущуюся вдоль волнового луча. В стоячей волне колебания частиц происходят иначе. В некоторые моменты времени все частицы среды одновременно проходят положение равновесия.

Действительно, из (1.75) следует, что 0 при условииcost=0. Последнее равенство выполнено, если

, (n=0,1,.2, 3….целое).

Используя определение периода колебаний, получим

, (n=0,1,.2, 3….целое).

Из последнего соотношения следует, что в моменты времени t, удовлетворяющие условию

,

значение колеблющейся величины во всех точках пространства оказываются равными нулю.

Если cost=1, илиt=n, гдеn=0,1,.2, 3… произвольное целое число, то колеблющаяся величина во всех точках пространства (исключая узлы) одновременно приобретает свое наибольшее значение, зависящее от соответствующей координаты. Этому состоянию соответствуют моменты времениt=n/.

.

Рис. 1.19. Стрелки показывают направление скорости частиц. Наклонная линия в левой части рисунка демонстрирует распространение постоянной фазы. Временной масштаб рисунка равен T/8

Рисунок 1.19 показывает различие в движении частиц бегущей и стоячей волны. Соотношения (1.77) и (1.79) позволяют утверждать, что расстояние между узлами и пучностями стоячей волны одинаково и равно половине длины бегущей волны той же частоты. При переходе через произвольный узел величина 2Аcos(X/V) меняет знак, что означает: частицы среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Частицы среды, заключенные между двумя соседними узлами, совершают синфазные колебания.

В стоячей волне не происходит переноса энергии в пространстве, а лишь перекачка одного вида энергии в другой с частотой в два раза большей, чем частота бегущей волны. Дифференцируя уравнение (1.75) стоячей волны в упругой среде по времени и координате найдем формулы для скорости колеблющихся частиц среды и величины относительной деформации среды:

,

.

Эти формулы имеют вид, аналогичный уравнению (1.75), а значит, описывают стоячие волны скорости и деформации. Очевидно, что смещение и деформация колеблются в фазе, например, одновременно достигают максимума, при этом скорость частиц среды обращается в ноль.