6. 10.1.6. Релятивистское преобразование скоростей

Пусть в неподвижной системе отсчета K положение материальной точки задано координатами x, y, z, t, а в подвижной K – x, y, z, t. Система K движется относительно K со скоростью V₀. Оси координат x и x сонаправлены. Для проекций скоростей в этих системах отсчета получим

.

Используя преобразования Лоренца (10.17) найдем дифференциалы координат и времени:

.

Разделим первые три равенства (10.29) на четвертое:

.

Аналогичным образом для обратного преобразования скоростей можно получить

.

Если тело движется вдоль оси x в системе K, то оно (см. рис. 10.1) движется также параллельно оси x в системе K. Скорость тела в системе К равна V=V_x, в системе К V=V_x. Тогда из (10.30) следует закон сложения скоростей:

.

При V<<c знаменатель выражения (10.34) стремится к 1. В этом пределе из (10.34) получаем, что V=V+V₀, что соответствует закону сложения скоростей по Галилею.

При V=c из выражения (10.34) получим:

,

то есть скорость света одна и та же в обеих инерциальных системах отсчета.

7. 10.1.7. Релятивистское преобразование ускорений

Пусть в системе К материальная точка М движется вдоль оси х со скоростью V₀ и ускорением а. Подвижная система отсчета K движется относительно неподвижной системы K со скоростью V в положительном направлении оси х. Оси координат этих систем x и x сонаправлены. Ускорение а точки М в подвижной системе найдем в координатном представлении. По определению:

Дифференцирование проведем на основании формул

, .

Проведя преобразования, получим:

8. 10.1.8. Релятивистский эффект Доплера

Пусть в неподвижной инерциальной системе К находится неподвижный наблюдатель. К нему со скоростью V приближается источник световых сигналов I, испускающий волну с частотой ₀. В системе К, в которой источник покоится, собственный период колебаний (и волны) равен Т₀=1/₀. В системе К период Т (см. (10.27)) больше:

.

Длина волны в системе К, как обсуждалось в параграфе, равна разности путей пройденных волной и ее источником:

.

Соответственно, воспринимаемая в системе К частота волны =c/ равна:

.

При удалении источника от наблюдателя воспринимаемая частота волны равна

.

Заметим, что при V<<c, когда возможно пренебречь членом порядка ², соотношение (10.37) переходит в известное соотношение для классического эффекта Доплера (1.84):

.

Рассмотренный выше эффект получил название продольного эффекта Доплера. В случае, когда вектор скорости источника составляет угол  с направлением на наблюдателя, то, заменив величину скорости V в формуле (10.37) на Vcos, имеем для частоты волны значение:

.

Последнее соотношение позволяет указать на особенность эффекта Доплера в механике специальной теории относительности. При =/2 формула (10.39) принимает вид:

.

Соотношение (10.40) описывает "поперечный" эффект Доплера, которому нет аналога в классической физике.