Глава 3. Статика

• Статика– это раздел механики, посвященный изучению условий равновесия механической системы, а так же отдельного тела.

Пусть тело в начальный момент времени покоится, т. е. его начальная линейная скорость V₀ и начальная угловая скорость ₀ равны нулю. Условия, при которых тело и в последующие моменты времени будет находиться в равновесии (в покое), следуют из второго закона Ньютона и уравнения моментов:

Действительно, V=V₀=0 если dV/dt=a=0 и поступательное движение не начнется. Аналогично момент импульса L=L₀ останется равным нулю при отсутствии углового ускорения. Эти условия выполнены, если равнодействующая приложенных сил равна нулю и суммарный момент сил равен нулю:

Уравнения (3.2) называются условиями равновесия механической системы (тела). Для материальной точки в качестве условий равновесия могут выступать первое уравнение системы. Система (3.2) двух векторных уравнения соответствуют следующей системе шести скалярных уравнений для проекций сил и моментов сил, действующих на материальную систему:

При исследовании равновесия положение осей X, Y, Z можно выбрать произвольно. Удобно провести их через центр масс тела.

• Центроммасс(центроминерции) системы называют воображаемую точку, радиус – вектор которой определяется следующим образом:

,

здесь m_i и r_i – масса и радиус-вектор i-ой частицы системы (тела) в некоторой системе отсчета, – масса системы.

Дифференцируя (3.4) легко получить, что импульс Р системы равен произведению ее массы на скорость V_c движения центра масс:

.

Используя соотношение (3.5) и уравнение второго закона Ньютона dP/dt=F^внеш запишем

.

Таким образом, приходим к теореме о движении центра масс системы:

• центр масс системы движется, как материальная точка с массой равной массе системы, к которой приложена равнодействующая сил.

Уравнение для моментов может быть написано для произвольного полюса. Можно показать, что при условии величина результирующего момента сил не зависит от выбора полюса.

Найдем суммарный момент сил тяжести, действующих на все частицы системы (тела), относительно произвольной точки О:

,

где – масса тела, R - радиус-вектор центра масс тела. Таким образом, момент сил тяжести частиц тела относительно произвольной точки О равен моменту силы тяжести тела mg, приложенной к центру масс тела. Из формулы (3.7) следует, что суммарный момент сил тяжести относительно центра масс тела равен нулю (так как радиус-вектор центра масс R = 0).

Глава 4. Работа силы. Мощность

• Элементарной работой dA силы F на элементарном перемещении dS называют скалярную физическую величину, равную скалярному произведению вектора силы F и вектора перемещения dS:

,

здесь через F_dS обозначена проекция вектора силы на направление перемещения dS.

В общем случае, когда материальная точка под действием переменной силы F движется по некоторой криволинейной траектории L, работа силы равна

Это соотношение получено предельным переходом в сумме

элементарных работ dA_i, совершаемых силой на каждом из элементарных перемещений dS_i вдоль трактории L:

Рис. 4.1. К вычислению работы силы

• Работа постоянной силы F на перемещении S, как следует из (4.2) равна скалярному произведению вектора силы F и перемещения S:

,

где  – угол между векторами F и S, F– проекция вектора силы на направление вектора перемещения.

Если зависимость проекции вектора силы на направление перемещения представлена графически (см. рис. 4.2), то работу силы можно определить как площадь криволинейной трапеции.

Рис. 4.2. Вычисление работы переменной силы

Наконец, соотношение (4.2) может быть записано для случая действия нескольких сил F_i. Пусть равнодействующая R равна:

,

тогда:

.

Последние соотношения выражают следующие утверждения:

• работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ, совершенных всеми ее составляющими.

Для нахождения работы часто удобно пользоваться следующим правилом:

,

где L=L₁+L₂+L₃+…+L_n:

• работа, совершенная при перемещении вдоль некоторой траектории, равна сумме работ, совершенных на отдельных участках этой траектории.

Скорость совершения работы во времени характеризует мощность.

• Средняя мощность, развиваемая некоторой силой – это физическая величина, равная отношению работы силы A к промежутку времени, в течение которого эта работа была совершена:

.

• Мгновенная мощность – мощность, затрачиваемая (выделяемая) в данный момент времени.

• Мгновенная мощность – определяется как предел средней мощности (4.6) при условии, что промежуток времени t стремится к нулю. Это позволяет определить мощность как первую производную работы по времени:

.

Мощность, сила и скорость движения связаны между собой следующим соотношением:

.

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (Дж). Один джоуль равен работе, совершаемой постоянной силой в 1Н на перемещении в 1м при условии, что векторы силы и перемещения сонаправлены: 1Дж = 1Н·1м. Единица измерения мощности – ватт (Вт). Один ватт равен мощности, при которой за время 1с совершается работа, равная 1Дж.