4.1.1. Работа силы тяжести

Вычислим работу силы тяжести mg, совершаемую при перемещении материальной точки (тела) массой m из положения 1 в положение 2. Используя формулу (4.2) получим,

Из чертежа видно, что dScos=dh; тогда выражение для А₁₂ можно преобразовать так:

.

Рис. 4.4 К вычислению работы силы тяжести

Полученное выражение для А₁₂ показывает, что независимо от вида траектории работа по перемещению материальной точки (тела) в поле тяжести зависит только от ее начальной и конечной высоты:

4.1.2. Работа силы всемирного тяготения

Вычислим работу, совершаемую силой всемирного тяготения со стороны тела массой М при перемещении тела массой m из положения, характеризуемого радиус-вектором r₁ в положение с радиус-вектором r₂ (см. рис. 4.5).

Рис. 4.5. Вычисление работы силы тяготения и силы упругости. Тяготеющая масса М расположена в точке О

Гравитационное поле является центральным, поскольку сила тяготения действует вдоль линии соединяющей материальную точку m (или центр масс этого тела) с центром О поля тяготения. По определению работы (4.2) имеем:

,

где сила F определяется законом (2.12).

Из рисунка видно, что dScos=dr, поэтому dA=F(r)dr, и для А₁₂ имеем:

.

Полученное выражение не содержит сведений о траектории движения тела, и можно утверждать, что работа центральной силы зависит только от начального и конечного расстояния r₁иr₂движущейся точки до силового центра.

4.1.3. Работа силы упругости

Вывод формулы для работы силы упругости проводится аналогично выводу для силы всемирного тяготения. Эта работа равна

,

Здесь r₁ и r₂ – величина абсолютной деформации тела в начальном и конечном состояниях. Эти деформации представляют собой координаты точки приложения внешней (деформирующей) силы при условии, что начало координат соответствует недеформированному состоянию тела. Как в ранее рассмотренных случаях, работа силы оказывается независимой от формы траектории точки приложения силы, и определяется только ее начальным и конечным положениями.

Глава 5. Энергия

• Энергия – это способность тела (системы) совершать работу.

Энергия служит универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Различают два вида механической энергии: потенциальную и кинетическую.

5.1. Потенциальная энергия

Пусть на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные и гироскопические силы, не зависящие от времени. Говоря иначе, материальная точка находится в стационарном поле сил. Примем условно за нулевое какое-либо состояние системы. Рассматривая иные состояния, назовем потенциальной энергией системы в некотором ином состоянии величину U, равную работе консервативных сил, совершаемой при переводе системы из этого состояния в нулевое.

• Потенциальной энергией системы в некотором состоянии называют скалярную величину U, равную работе консервативных сил совершаемой при переводе системы из этого состояния в состояние, условно принятое за нулевое.

Поскольку работа консервативных сил не зависит от траектории движения материальной точки, то ее потенциальная энергия зависит только от начального состояния системы. Это означает, что потенциальная энергия системы определяется ее состоянием. Возможность произвольно выбрать нулевое состояние (нулевого уровня потенциальной энергии) означает, что потенциальная энергия системы определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С, зависящей от сделанного выбора. Действительно, если за нулевое состояние условно принять состояние, изображаемое точкой О (см. рис.5.1), то потенциальная энергия U_М системы, находящейся в состоянии, изображаемом точкой M, равна работе А_МО, совершенной силами поля при переходе из состояния М в состояние О.

Рис. 5.1. К определению потенциальной энергии

Если принять за начальное точку О^I, то потенциальная энергия точки М будет равна работе по перемещению из М в О^I. Вследствие консервативности сил поля работа по траектории МО равна работе по траектории МО^IО:

А_МО=+.

Заметим, что работа вполне определенная величина, зависящая только от выбора точек О и О^I. Таким образом, при изменении положения начальной точки О потенциальная энергия изменяется на постоянную величину:

.

Из сказанного выше следует, что потенциальная энергия в положении О равна нулю. Однако ее можно считать равной не нулю, а некоторому произвольному значению. Тогда, при переходе системы из состояния М в нулевое, необходимо говорить не о потенциальной энергии состояния М, а о разности потенциальных энергий в состоянии М и О. Произвол в выборе постоянной C не влияет ни на теоретические выводы, ни, тем более, на ход физических процессов. Существенной оказывается не абсолютная величина потенциальной энергии U, а ее изменение – , которое не содержит произвольной постоянной С.

Пусть система перешла из состояния M в состояние N. Работу A_MN, совершенную при этом консервативными силами, можно выразить через потенциальные энергии состояний M и N.

Рис. 5.2. К определению величины потенциальной энергии

Пусть (см. рис. 5.2) этот переход осуществлен через точку О, по траектории MON. Тогда A_MN=A_MON=A_MO+A_ON. По определению потенциальной энергии можно записать: U_M=A_MO+C, U_N= A_NO+C, где С – одна и та же постоянная. Имеем:

.

Разность потенциальных энергии начального и конечного состояний U_M-U_N представляет собой ее убыль (убыль равна приращению, взятому с противоположным знаком). Полученное соотношение играет важную роль: оно позволяет утверждать, что:

• работа консервативных сил, действующих на тела механической системы равна убыли потенциальной энергии системы:

.

Конкретный вид функции U, определяющей величину потенциальной энергии зависит от характера действующих сил, или от природы силового поля. В разделах 4.1.1 – 4.1.3 получены выражения для работы консервативных сил различной природы. Сравнивая соотношения (4.11), (4.12) и (4.13) с соотношением (5.1) легко придти к выводу, что потенциальная энергия:

• в поле силы тяжести определяется соотношением

• в поле силы упругости определяется соотношением

.

Определение потенциальной энергии в поле силы всемирного тяготения имеет особенность. Соотношение (4.12) получено непосредственным вычислением работы силы всемирного тяготения:

Как правило, тела считают равной нулю. Это оправдано тем, что на бесконечно большом расстоянии (r₂=) сила тяготения обращается в ноль и энергия взаимодействия отсутствует, т. е. U_=0. Из формулы (4.17) следует, что А_1=-U=U_-U₁.

• Итак, имеем для потенциальной энергии в поле тяготения соотношение

Замечания

1. При выводе соотношения (4.12) не учитывалось возможное движение центра притяжения. Можно показать, что полученное соотношение остается справедливым и при учете движения тяготеющего центра. Величина работы зависит только от относительного перемещения тяготеющих тел и не зависит от абсолютных перемещений каждого из них.

2. Потенциальная энергия системы в наиболее общем случае представляет собой сумму

,

где – внешняя потенциальная энергия системы, связанная с действием на неё внешних консервативных сил. Эта составляющая потенциальной энергии всегда аддитивна. Внутренняя потенциальная энергия системы , обусловленная действием внутренних консервативных сил, должна учитывать взаимодействие всех частей системы, и, в общем случае, не является аддитивной величиной. Условие аддитивности полной потенциальной энергии выполнимо только в случае слабого взаимодействия частей системы, когда им можно пренебречь.