2.2. Второй закон Ньютона

• Ускорение а, с которым движется материальная точка, прямо пропорционально векторной сумме всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально ее массе:

.

Уравнение (2.5) является основным уравнением динамики поступательного движения материальной точки (тела). С формальной точки зрения оно представляет собой векторное дифференциальное уравнение второго порядка.

Во втором законе динамики появились два новых понятия: сила и масса.

• Масса– является мерой инертных и гравитационных свойств тела.

Понятие "масса" для обозначения физической величины, характеризующей инерционные и гравитационные свойства тел, ввел И. Ньютон в "Началах натуральной философии". Инертная m_И масса тела входит в уравнении второго закона Ньютона (2.5), она характеризуют способность тела отвечать определенным ускорением на действие определенной силы. Гравитационная масса m_ГР – входит в закон всемирного тяготения (см. далее (2.6)), она характеризуют способность тела притягивать другие тела.

До настоящего времени физическая природа массы и причины ее вызывающие не выяснены, эти проблемы относят к фундаментальным проблемам современной физики. Исследования позволили сформулировать

• принципэквивалентности: инертная и гравитационная массы равны между собой. В ходе экспериментов, проведенных в 1971 году, точность³, с которой доказана справедливость принципа эквивалентности, была доведена до 10 ¹². На этом основании, в дальнейшем используется термин масса, безотносительно к ее физической природе.

• Сила– векторная величина, являющаяся количественной характеристикой механического воздействия одного тела на другое.

В результате механического воздействия на тело у него появляется ускорение или происходит его деформация.

2.3. Силы в механике

Основные силы, действие которых рассматривает механика Ньютона следующие:

2.3.1. Сила всемирного тяготения

• Законвсемирноготяготения:

все тела притягивают друг друга. Сила (всемирного тяготения), с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна произведению масс этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Математическое выражение закона всемирного тяготения имеет вид:

,

здесь =6,670·10^-11 м³/кг·с² – гравитационная постоянная.

Физический смысл гравитационной постоянной G состоит в следующем: она показывает силу, с которой притягивается материальная точка массой 1 кг к другой такой же точке, находящейся на расстоянии одного метра. Векторная форма записи закона всемирного тяготения такова:

,

здесь F₁₂ сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй, e₁₂- единичный вектор, направленный от первой точки ко второй (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. К закону всемирного тяготения.

Вычисление силы, с которой притягиваются тела произвольной формы, представляет собой сложную математическую задачу, которая имеет аналитическое представление:

,

интегрирование ведется по объему V₁ первого и второго V₂ тела, r₁₂ радиус-вектор, направленный из элементарной массы dm₁ первого тела к элементарной массе dm₂ второго тела.

Расчеты на основании соотношения (2.8) показывают, что формулу (2.6) можно использовать в случае взаимодействия шаров, в этом случае величина r равна расстоянию между центрами шаров. Формулу (2.6) можно применять при учете гравитационного взаимодействии шарообразной Земли и тела произвольной формы, которое можно считать материальной точкой по сравнению с размерами Земли.

Закон всемирного тяготения позволил теоретически обосновать три эмпирических закона Кеплера, описывающие движение планет:

1. Траектория планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Сила всемирного тяготения, называемая также гравитационной силой является одной из фундаментальных сил в природе. Универсальный характер силы тяготения обуславливает ее большую роль в явлениях природы. Приведем дополнительно некоторые характеристики силы всемирного тяготения.

Напряженность поля тяготения.

Сила тяготения действует на тела посредством гравитационного поля. Гравитационного поле существует в пространстве вокруг любого тела, имеющего массу, и проявляется в том, что на любое тело, помещенное в него, действует сила всемирного тяготения. Одной из динамических характеристик гравитационного поля является напряженность G гравитационного поля. Она характеризует его интенсивность и численно равна отношению гравитационной силы, действующей на тело, к массе этого тела:

.

Как следует из формулы (2.9), напряженность гравитационного поля численно равна силе, действующей на тело единичной массы, помещенной в некоторую точку поля. Из (2.7) следует, что напряженность поля, созданного массой m на расстоянии r₀ от него:

,

здесь е_r – орт радиус-вектора, проведенного из тяготеющего центра – точки m в данную точку поля, знак "минус" указывает, что вектор напряженности гравитационного поля совпадает по направлению с силой притяжения, действующей со стороны тела m.

Как видно из (2.7) (2.9), размерность напряженности гравитационного поля и ускорения свободного падения совпадают. Более того, вблизи поверхности Земли, когда r₀R_З, они численно равны G=g.

Однородным полем сил называют поле, в каждой точке которого на тело действует одна и та же сила. В общем случае поле тяготения является центральным полем: вектор напряженности в нем направлен к силовому-тяготеющему центру. Поле тяготения можно считать однородным только тогда, когда движение происходит в небольших областях пространства.

Силовое поле, в частности гравитационное, может быть наглядно изображено при помощи силовых линий (см. рис. 2.8). Вектор напряженности поля в каждой точке пространства направлен по касательной к силовым линиям.

Рис. 2.8. Напряженность G гравитационного поля.

Потенциал поля тяготения

Второй характеристикой гравитационного поля является скалярная физическая величина – потенциал гравитационного поля.

• Потенциаломгравитационногополя_ГРв некоторой его точкеNназывают физическую величину, равную отношению работы сил гравитационного поля, совершенной при перемещении телаmиз этой точки на бесконечно большое расстояние (говорят – на бесконечность), к массе перемещенного тела:

.

Расчеты (см. 4.12) показывают, что потенциал гравитационного поля, созданный телом массой М на расстоянии R от него равен:

.

Существует иное определение понятия потенциал. Потенциал поля тяготения может быть определен как энергетическая характеристика гравитационного поля:

• потенциалгравитационногополя_ГРравен отношению потенциальной энергии тела в поле тяготения, помещенного в данную точку поля, к массеmэтого тела.

,

здесь U – потенциальная энергия тела массой m в данной точке поля. При таком определении физический смысл потенциала определяют как величину численно равную потенциальной энергии тела единичной массы в данной точке поля.

Между потенциалом гравитационного поля и его напряженностью существует определенная связь. Работа, совершаемая гравитационным полем при перемещении тела массой m его из из положения 1 в положение 2 равна убыли потенциальной энергии тела:

.

Используя определение напряженности гравитационного поля (2.9), можно записать:

.

По определению работы имеем: dА₁₂=Fdr. Используя последнее соотношение и (2.11) запишем:

.

Отсюда следует, что

.

Производная d_ГР/dr представляет собой первую производную гравитационного потенциала по направлению. Ее называют градиентом потенциала и обозначают следующим образом:

.

Напряженность гравитационного поля – G направлена в сторону убывания потенциала , этим объясняется знак "–" в формуле (2.12).

Космические скорости

Для того, чтобы вывести ракету в космос, ей необходимо сообщить некоторую скорость.

• Скорость, с которой должно двигаться телоm, чтобы удерживаться на орбите вблизи поверхности Земли, называют первой космической скоростью. Эту скорость несложно вычислить с помощью законов динамики.

Рис. 2.9. К расчету первой космической скорости.

Второй закон Ньютона для тела m на околоземной орбите (см. рис. 2.9) имеет вид:

.

Проецируя полученное уравнение на ось Х, имеем:

,

или после сокращений:

,

откуда скорость для спутника на низкой (RR₀ – радиус Земли) орбите равна

.

Подстановка численных значений дает для первой космической скорости величину, равную, приблизительно, 8 км/с.

• Второйкосмическойскоростьюназывается скорость, которую необходимосообщитьтелу, чтобы превратить его в спутник Солнца. В этом случае спутник никогда не возвратится на Землю, т. е. его движение становится инфинитным – неограниченным. Величину скорости находят из закона сохранения энергии: кинетическая энергия спутника у поверхности Земли равна его потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии:

,

подставляя численные значения, получим:

.

• Третьякосмическаяскорость– скорость тела, имея которую ономожетпокинуть пределы Солнечной системы. Расчеты показывают, что эта скорость, в лучшем случае, составляет около 16,7 км/c. Дело в том, что величена третьей космической скорости зависит от направления запуска спутника. Она меньше, если ракета двигаться в направлении орбитального движения Земли вокруг Солнца (происходит сложение скоростей Земли и ракеты). Бóльшую скорость (~73 км/с) необходимо сообщить, если ракету запускать против движения Земли.