Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения
Пример 1.1.Снаряд вылетел под углом= 300к горизонту со скоростьюV0= 200 м/с. Определить скорость снаряда, а также его нормальное и тангенциальное ускорения черезt= 3 с после начала движения. На какое расстояниеSпереместится за это время снаряд по горизонтали, на какой высоте он окажется?
Решение
|
L=?,H=? аН=?, а=?_________ V0=200 м/c, =30, g=9,8 м/с2
|
|
Выберем двухмерную систему координат X,Yи совместим ее начало с положением снаряда перед выстрелом. Изобразим траекторию движения снаряда кривой ОВ и предположим, что снаряд через три секунды полета находится в точке В. Так как движение снаряда происходит с постоянным ускорениемg, сообщаемым силой тяжести, и начальная скорость снарядаV0не равна нулю, то законы кинематики должны быть записаны так:
,
(1)
В проекциях на оси координат уравнения (1) имеют вид:
Величины V0cosα; иV0sinα равны проекциям начальной скорости на оси Х иY, соответственно. Из ортогональности проекцийVxиVyследует:
(2)
Из чертежа видно, что проекции вектора перемещения Sна оси координат равны горизонтальномуLи вертикальномуHперемещению снаряда:SX=LиSY=H, поэтому
(3)
(4)
Разлагая ускорение снаряда gв точке В на направления касательной и нормали к траектории, отметим его нормальнуюаНи тангенциальнуюаτсоставляющие. Из чертежа видно, что
ан = g sinβ, ατ = g cosβ, (5)
β– угол между вертикалью и нормалью к траектории в точке В. В параллелограммах скоростей и ускорений имеются равные углы(как углы с перпендикулярными сторонами).
Тригонометрические функции угла βможно найти из разложения скорости снаряда в точке В:
,
.
Подставляя в соотношения (5) выражения для тригонометрических функций имеем окончательно:
,
.
Перемещение снаряда по горизонтали и его высоту находим по формулам (3) и (4):
,
,L
.
С помощью соотношения (2) найдем величину скорости снаряда после трех секунд полета:
V=188 (м/c)
Замечание. Отрицательное значение ατна третьей секунде полета показывает, что в этот момент скорость снаряда убывает, т. е. он еще находится на восходящей ветви параболы, например в точке В.
Пример 1.2.Диск радиусомR= 10 см находился в состоянии покоя, потом начал вращаться с постоянным угловым ускорением=0,5 рад/с2. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения, а также угол, который составляет вектор полного ускорения любой точки диска с его радиусом.
aH=?, a=?, а=?, =?
R=10 см=0,1 м
=0,5 с –2
t=2c,0=0
Решение
|
|
Разложим вектор полного ускорения а точки на тангенциальное ускорениеατи нормальное ускорениеан(n– вектор внешней нормали к траектории):
.
Из рисунка видно, что tgα= ατ/αн. Используя связь линейных и угловых ускорений можно записать
ατ= βR.
Известно, что нормальное ускорение определяется формулой:
,
где угловая скорость определяется из основного уравнения кинематики вращательного движения
.
По условию 0= 0, тогда
.
Следовательно,
аН= β2t2R.
Производя вычисления, получим:
ατ= 0.510-1= 510-2(м/с2); ан = 25·10-2· 4·10-2=10-2(м/с2).
(м/с2);
,α=79°.