- •Лекционный блок
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Скорость и ускорение
- •1.3. Равномерное и равнопеременное движение
- •1.4. Кинематика движения по окружности
- •Взаимосвязь угловых и линейных характеристик при движении по окружности
- •1.6. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.7. Кинематика произвольного криволинейного движения
- •1.8. Кинематика колебательного движения
- •1.8.1. Сложение колебаний одного направления
- •1.8.2. Биения
- •1.8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •1.9. Кинематика волнового движения
- •1.9.1. Уравнение плоской волны
- •1.9.2. Общие характеристики волны
- •1.9.3. Распространение, отражение и преломление волн
- •1.9.4. Продольные и поперечные волны
- •1.9.5. Интерференция волн
- •1.9.6. Стоячие волны
- •1.9.7. Эффект Доплера
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности
- •2.1.1. Классический закон сложения скоростей
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Силы в механике
- •2.3.1. Сила всемирного тяготения
- •2.3.2. Сила тяжести
- •2.3.3. Механическая связь. Реакция связи
- •2.3.4. Сила трения.
- •2.3.6. Сила упругости. Закон Гука
- •2.4. Третий закон Ньютона
- •Материальной точки (тела)
- •2.5.1. Импульс материальной точки
- •2.5.2. Импульс механической системы
- •Динамика движения материальной точки по окружности
- •2.7. Динамика вращательного движения относительно неподвижной оси
- •2.7.1. Момент инерции твердого тела
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Глава 3. Статика
- •Глава 4. Работа силы. Мощность
- •4.1. Консервативные и неконсервативные силы в механике
- •4.1.1. Работа силы тяжести
- •4.1.2. Работа силы всемирного тяготения
- •4.1.3. Работа силы упругости
- •Глава 5. Энергия
- •5.1. Потенциальная энергия
- •5.2. Потенциальная энергия и сила поля
- •5.3. Кинетическая энергия поступательного движения
- •5.4. Кинетическая энергия вращательного движения
- •5.5. Полная механическая энергия тела (системы)
- •Глава 6. Законы сохранения
- •6.1. Закон сохранения импульса
- •6.2. Закон сохранения момента импульса
- •6.3. Закон сохранения механической энергии
- •6.3.1. Механическая энергия материальной точки
- •6.3.2. Механическая энергия материальной точки (тела) под воздействием произвольных сил
- •6.3.3. Механическая энергия системы
- •6.3.4. Упругое столкновение
- •Глава 7. Динамика малых колебаний
- •7.1. Пружинный маятник
- •7.2. Физический маятник
- •7.3. Математический маятник
- •7.4. Затухающие колебания
- •Влияние величины сопротивления на характер колебательного движения
- •7.6. Вынужденные колебания
- •7.7. Резонанс
- •Глава 8. Движение в неинерциальной системе отсчета
- •Кинематика движения в неинерциальной системе отсчета
- •8.2. Динамика движения в неинерциальной системе отсчета
- •Глава 9. Элементы гидро- и аэродинамики
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Уравнение Бернулли
- •9.3. Формула Торричелли
- •9.4. Горизонтальный поток жидкости
- •9.5. Подъемная сила
- •9.6. Течение вязкой жидкости
- •9.6.1. Установившаяся скорость
- •9.7. Гидростатика
- •9.7.1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды
- •9.7.2. Закон Архимеда.
- •Глава 10. Релятивистская механика
- •10.1. Кинематика специальной теории относительности
- •10.1.1. Интервал
- •10.1.2. Преобразования Лоренца
- •10.1.3. Относительность одновременности
- •10.1.4. Относительность длины
- •10.1.5. Относительность длительности событий
- •10.1.6. Релятивистское преобразование скоростей
- •10.1.7. Релятивистское преобразование ускорений
- •10.1.8. Релятивистский эффект Доплера
- •10.2. Динамика специальной теории относительности
- •10.2.1. Релятивистский импульс
- •10.2.2. Основное уравнение динамики сто
- •10.2.3. Релятивистское выражение для энергии
- •10.2.4. Взаимосвязь массы и энергии
- •10.2.5. Связь между энергией и импульсом тела
- •Соотношения (10.46) и (10.52) показывают, что энергия тела и его импульс зависят от системы отсчета, принятой в данном конкретном случае. Покажем, что величина
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения
- •Примерная схема решения задач по кинематике колебаний
- •Задачи к главе I для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 3 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 6 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе семь для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 10 для самостоятельного решения
1.6. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
Взаимосвязь угловых и линейных характеристик можно рассмотреть на основе общих соображений. Пусть V мгновенная линейная скорость материальной точки, движущейся по окружности, – ее угловая скорость. Введем единичный вектор касательной , связанный с движущейся материальной точкой. Тогда скорость V можно записать так:
,
здесь V=V – проекция вектора скорости на направление вектора касательной. Дифференцируя (1.25) по времени, получим:
.
Преобразуем второй член последнего соотношения:
.
Как видно из рисунка (1.5)
.
Направление d/dℓ совпадает с направлением вектора внутренней нормалиn. Окончательно (1.26) запишем следующим образом:
.
В соотношении (1.29) первое слагаемое представляет собой тангенциальной ускорение а, второе – нормальное аН или центростремительное ускорение. Таким образом,
:
полное ускорение движущейся точки равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений. Модуль полного ускорения определяется соотношением:
Воспользуемся формулой Эйлера (1.21): . Дифференцируя по времени (1.31), имеем:
,
где d/dt= угловое ускорение, dR/dt=V – мгновенная линейная скорость материальной точки.
|
Рис. 1.6.
V – мгновенная линейная скорость, a – тангенциальное, an – нормальное и a – полное ускорение частицы. О – центр касательной окружности радиусом R, n – внешняя нормаль к траектории движения |
Из рисунка 1.6 видно, что множитель представляет собой тангенциальное ускорение, а– нормальное или центростремительное ускорение.
Таким образом (1.32) можно привести к виду: . (1.32а)
1.7. Кинематика произвольного криволинейного движения
В общем случае неравномерного движения материальной точки по криволинейной траектории, ускорение а равно сумме нормального аН (центростремительного) и тангенциального а ускорений:
.
Вектор тангенциального ускорения ατ направлен по касательной к траектории, векторαН – по нормали к траектории (центростремительное ускорение);αnхарактеризует изменение направления скорости со временем,а– характеризует изменение модуля скорости.
Величины αnиατопределяют характер движения материальной точки.
αН=0,ατ=0 – прямолинейное равномерное движение,
αН=0,ατ=const – прямолинейное равнопеременное движение,
αН=const0,ατ=0 – движение по окружности с постоянной по величине скоростью,
αН0,ατ=const, приR=const равнопеременное движение по окружности,
αН0,ατ0 – криволинейное неравномерное движение.
1.8. Кинематика колебательного движения
Колебания – это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Колебания широко распространены в природе и имеют место в самых разнообразных явлениях, например, качание маятника пружинных часов, мигание индикатора таймера, изменение значения переменного тока, величины напряжения на обкладках конденсатора, включенного в колебательный контур и т. п. Повторяющиеся процессы протекают внутри живых организмов, например, биение сердца, чередование промежутков сна и бодрствования, ритмы, сопровождающие работу человеческого мозга. Таким образом, колебания присутствуют как в живой, так и в неживой природе; в микроскопических и макроскопических процессах.
Важнейшая особенность колебательного движения состоит в том, что оно происходит в системах, занимающих ограниченную часть пространства. Так, совершая колебательное механическое движение, система движется около некоторого положения равновесия, но энергия системы не выходит за пределы границ системы. Колеблющаяся величина, заключена в некоторый интервал, содержащий ее среднее значение. Несмотря на качественное различие тех или иных колебательных процессов, все они могут быть описаны одними и теми же количественными законами.
Свободные, или собственные колебания – это колебания, которые происходят в системе, выведенной из состояния равновесия и предоставленной самой себе.
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания представляют собой простейшие колебания.
Уравнение гармонически меняющейся величины может быть как с помощью функции синуса, так и с помощью функции косинуса следующим образом:
.
В формулу (1.33) входят следующие величины:
Амплитуда колебаний А – наибольшее значение колеблющейся величины . Из (1.33) следует, что А>0.
Фаза колебаний – – аргумент функции синуса или косинуса в уравнении гармонического колебания.
Начальная фаза колебаний – значение фазы в момент времени t=0.
При необходимости, переход от функции синуса к функции косинуса осуществляется по формулам приведения, при этом изменяется начальная фаза колебаний. Например, в формулах (1.33) .
Период колебаний Т – это время, за которое совершается одно полное колебание.
Можно говорить, что период – это наименьший промежуток времени, по истечении которого колеблющаяся величина имеет то же самое значение и ту же скорость изменения.
Частота колебаний (n, или f) – величина обратная периоду колебаний
.
Круговая, или циклическая, частота связана с частотой соотношением
.
Измеряется циклическая частота в с –1. Она показывает, какое число колебаний происходит за 2 секунд.
Используя определение периодичной функции – F(х)=F(х+Т), запишем:
.
Поскольку функция имеетпериод 2, то сравнение фаз колебаний позволяет установить связь периода колебаний с циклической частотой:
,
отсюда следует, что
.
Частота показывает, какое число колебаний совершается за единицу времени (секунду). Измеряется частота в герцах: . 1 Гц – это такая частота, при которой в единицу времени совершается одно колебание.
Скорость изменения V и ускорение – a колеблющейся величины определяется обычным образом (по формулам (1.4) и (1.7)):
Начальную фазу колебаний, можно определить с помощью первого из уравнений (1.33) по известным начальным условиям 0, V0:
и .
Откуда следует:
.
Амплитуду гармонически колеблющейся величины можно вычислить по формуле: