5.4. Кинетическая энергия вращательного движения
Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Будем рассматривать тело как систему материальных точек и воспользуемся формулой (5.15). Скорость Vi материальной точки выразим через угловую скорость вращения тела по формуле Эйлера (1.21).
.
Здесь через ri обозначен радиус-вектор i-ой частицы тела, i ее угловая скорость (одна и таже для всех точек), наконец J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела описывается следующей формулой
.
Последнее уравнение для вращательного движения тела аналогично уравнению T=mV2/2 для поступательного движения.
Если тело движется поступательно в инерциальной системе отсчета со скоростью V0 и вращается относительно подвижной оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью , причем ось перпендикулярна направлению скорости V0 (так называемое плоское движение, например, качение колеса), то его кинетическая энергия Т равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
,
здесь m – масса тела, J – его момент инерции относительно оси вращения.
Докажем справедливость соотношения (5.17). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:
,
где
-
скорость движенияi-й
материальной точки относительно
неподвижной системы отсчёта; VЦМ
– скорость центра масс тела; ri
– радиус-вектор i-й
точки, проведенный из центра масс;
– угловая скорость вращения тела.
Возведя выражение для
в квадрат, получим:
.
Используем свойство аддитивности кинетической энергии, и запишем:
.
В полученном выражении последнее слагаемое равно нулю, т. к.
,
вектор
по определению равен радиус-вектору
центра масс тела, который равен нулю в
системе центра масс. Окончательно имеем:
.
5.5. Полная механическая энергия тела (системы)
Механической энергией тела (системы) называется сумма его (ее) кинетической и потенциальной энергии:
.
Полная механическая энергия тела в общем случае не является аддитивной величиной. Это связано с тем, что в нее входит внутренняя потенциальная энергия системы, которая, как обсуждалось в пункте 5.1, не является аддитивной.
Глава 6. Законы сохранения
Состояние механической системы характеризуется заданием положения и скоростей всех ее частей. Определение состояния системы в произвольный момент времени составляет содержание основной задачи механики. Эта задача в принципе решается с помощью уравнений кинематики и законов динамики Ньютона при условии, что известен характер действующих сил, а также начальное состояние системы. Эта задача в отдельных случаях решается с большими трудностями, а иногда решение не возможно вообще.
Существует, однако, иной метод решения поставленной задачи, основанный на законах сохранения. Оказывается, что существуют физические величины, зависящие от координат и скоростей частиц, значение которых не изменяется при изменении состояния механической системы. Такие величины называются сохраняющимися.
Сохраняющейся величиной называют величину, не изменяющуюся при движении механической системы.
В механике важнейшую роль играют следующие сохраняющиеся величины: импульс, момент импульса и энергия.