- •Лекционный блок
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Скорость и ускорение
- •1.3. Равномерное и равнопеременное движение
- •1.4. Кинематика движения по окружности
- •Взаимосвязь угловых и линейных характеристик при движении по окружности
- •1.6. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.7. Кинематика произвольного криволинейного движения
- •1.8. Кинематика колебательного движения
- •1.8.1. Сложение колебаний одного направления
- •1.8.2. Биения
- •1.8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •1.9. Кинематика волнового движения
- •1.9.1. Уравнение плоской волны
- •1.9.2. Общие характеристики волны
- •1.9.3. Распространение, отражение и преломление волн
- •1.9.4. Продольные и поперечные волны
- •1.9.5. Интерференция волн
- •1.9.6. Стоячие волны
- •1.9.7. Эффект Доплера
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности
- •2.1.1. Классический закон сложения скоростей
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Силы в механике
- •2.3.1. Сила всемирного тяготения
- •2.3.2. Сила тяжести
- •2.3.3. Механическая связь. Реакция связи
- •2.3.4. Сила трения.
- •2.3.6. Сила упругости. Закон Гука
- •2.4. Третий закон Ньютона
- •Материальной точки (тела)
- •2.5.1. Импульс материальной точки
- •2.5.2. Импульс механической системы
- •Динамика движения материальной точки по окружности
- •2.7. Динамика вращательного движения относительно неподвижной оси
- •2.7.1. Момент инерции твердого тела
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Глава 3. Статика
- •Глава 4. Работа силы. Мощность
- •4.1. Консервативные и неконсервативные силы в механике
- •4.1.1. Работа силы тяжести
- •4.1.2. Работа силы всемирного тяготения
- •4.1.3. Работа силы упругости
- •Глава 5. Энергия
- •5.1. Потенциальная энергия
- •5.2. Потенциальная энергия и сила поля
- •5.3. Кинетическая энергия поступательного движения
- •5.4. Кинетическая энергия вращательного движения
- •5.5. Полная механическая энергия тела (системы)
- •Глава 6. Законы сохранения
- •6.1. Закон сохранения импульса
- •6.2. Закон сохранения момента импульса
- •6.3. Закон сохранения механической энергии
- •6.3.1. Механическая энергия материальной точки
- •6.3.2. Механическая энергия материальной точки (тела) под воздействием произвольных сил
- •6.3.3. Механическая энергия системы
- •6.3.4. Упругое столкновение
- •Глава 7. Динамика малых колебаний
- •7.1. Пружинный маятник
- •7.2. Физический маятник
- •7.3. Математический маятник
- •7.4. Затухающие колебания
- •Влияние величины сопротивления на характер колебательного движения
- •7.6. Вынужденные колебания
- •7.7. Резонанс
- •Глава 8. Движение в неинерциальной системе отсчета
- •Кинематика движения в неинерциальной системе отсчета
- •8.2. Динамика движения в неинерциальной системе отсчета
- •Глава 9. Элементы гидро- и аэродинамики
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Уравнение Бернулли
- •9.3. Формула Торричелли
- •9.4. Горизонтальный поток жидкости
- •9.5. Подъемная сила
- •9.6. Течение вязкой жидкости
- •9.6.1. Установившаяся скорость
- •9.7. Гидростатика
- •9.7.1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды
- •9.7.2. Закон Архимеда.
- •Глава 10. Релятивистская механика
- •10.1. Кинематика специальной теории относительности
- •10.1.1. Интервал
- •10.1.2. Преобразования Лоренца
- •10.1.3. Относительность одновременности
- •10.1.4. Относительность длины
- •10.1.5. Относительность длительности событий
- •10.1.6. Релятивистское преобразование скоростей
- •10.1.7. Релятивистское преобразование ускорений
- •10.1.8. Релятивистский эффект Доплера
- •10.2. Динамика специальной теории относительности
- •10.2.1. Релятивистский импульс
- •10.2.2. Основное уравнение динамики сто
- •10.2.3. Релятивистское выражение для энергии
- •10.2.4. Взаимосвязь массы и энергии
- •10.2.5. Связь между энергией и импульсом тела
- •Соотношения (10.46) и (10.52) показывают, что энергия тела и его импульс зависят от системы отсчета, принятой в данном конкретном случае. Покажем, что величина
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения
- •Примерная схема решения задач по кинематике колебаний
- •Задачи к главе I для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 3 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 6 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе семь для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 10 для самостоятельного решения
Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
9.1. Определить натяжение нити, связывающей два шарика объемом V=10см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего? Плотность воды ρ=1000 кг/м3.
Fнат=ρgV/ 8.
9.2. Два шарика радиусами r1иr2 сделаны из материала плотностьюρ1иρ2и соединены невесомым стержнем длинойl. Затем вся система помещена в жидкость плотностьюρ(ρ<ρ1иρ<ρ2). В какой точке стержня нужно прикрепить подвес, чтобы вся система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?
от шара плотностью 1.
9.3. В сообщающиеся сосуды диаметрами D1 иD2налита вода. Как изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массойmв первый сосуд? Во второй сосуд? Плотность воды.
.
9.4. В сосуд с водой опущена длинная трубка сечением S= 2см2. В трубку налитоm=72 г масла (ρм= 900 кг/м3).Плотность водыρВ= 1000 кг/м3. Найти разность уровней масла и воды.
Δh=m(ρв-ρм) /Sρвρм.
9.5. При подъеме груза массой m= 2000 кг с помощью гидравлического пресса совершена работа А = 40 Дж. При этом малый поршень сделалn= 0 ходов, перемещаясь за один ход наh= 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?
S2/S1=nhmg/A.
9.6. Из воды с глубины h1=7 м кран поднимает чугунную плиту массойm=1400 кг. Найти совершенную работу, если плита была поднята на высотуh2=5 м над водой. Плотность чугуна 7000 кг/м3. Считатьg =10 м/с2. Плотность водыρв известна.
А = mg[h1(1-ρч/ρв) +h2 ].
9.7. Полый шар (внешний радиус R1, внутреннийR2), сделанный из материала плотностью1, плавает на поверхности жидкости плотностью2. Какова должна быть плотность вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
= [R13(2 -1) +R231] ( 1 /R23).
9.8. Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду с плотностью ρв. Определить силу натяжения нити, если масса поплавкаm= 2 кг и плотность пробкип= 250 кг/м3. Массой нити пренебречь.
T=mg(3ρв /4п - 1).
9.9. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Определить силу сопротивления Fжидкости при движении в ней шарика, считая ее постоянной. Масса шарикаm=10 г.
F=3mg.
9.10. В цилиндрический сосуд налита ртуть и поверх ртути масло. Масса масла в 2 раза меньше массы ртути. Сосуд заполнен до высоты h=30 см. Определить давление на дно сосуда, если плотность ртутир=1,36104кг/м3, а плотность маслам=900 кг/м3.
P=3мрgh/(р+2м).
9.11. С какой скоростью вытекает вода из узкого отверстия в дне бака, наполненного до высоты h=4,6 м? Вязкость не учитывать.
.
Пример 10.1.
На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость V0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время 0=0,5 года.
t-?
_____________________
V0=7,9 км/ч=7,9·103 м/с,
0=0,5 года=15768000 с.
Решение.
Очевидно, что релятивистское замедление хода часов t=-0, где – время в системе отсчета К’, движущейся вместе со спутником со скоростью V0 относительно "неподвижной" системы отсчета К, связанной с Землей. Так как (см. ) местное время на спутнике равно
,
то:
.
Для нахождения времени запаздывания t можно воспользоваться следующим приближением:
.
Подставляя численные значения, имеем:
.
Пример 10.2.
Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью L=0,1 мкм. При какой относительной скорости U двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина L0 которого равна 1 м.
U-?
_______________
L = 0,1 мкм=10–7 м,
L0 = 1 м.
Решение.
В соответствии с формулой (10.26) для Лоренцевского сокращения длины запишем:
,
где введено обозначение =U/c.
Релятивистское сокращение длины можно было бы обнаружить при условии, что
,
или
. (*)
Разрешая соотношение (*) относительно получим:
.
Проводя преобразования и опуская малую величину (L)2 имеем для U выражение:
Подставляя численные значения, имеем:
U=13,4·104 м/с.
Пример 10.3.
Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость V1=0,4/с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью V2=0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость U21 частицы относительно ядра.
U21 – ?
__________
V1=0,4 с,
V2=0,75 с
с=3108 м/с.
Решение
Релятивистское сложение скоростей осуществляется по закону (10.30):
. (*)
Из формулы (*) следует, что
.
В результате последовательных преобразовании имеем:
и
.
Подставив численные значения, получим
.