1. 1.3. Равномерное и равнопеременное движение

Существует несколько классификаций движения по тому или иному признаку. Так, механическое движение подразделяют на равномерное и неравномерное.

• Равномерное движение – можно определить несколькими способами:

1. равномерное движение – это движение, при котором за любые равные промежутки времени материальная точка (тело) совершает одинаковые перемещения,

2. равномерное движение – это движение с постоянной скоростью,

3. равномерное движение – это движение, при котором ускорение равно нулю.

• Неравномерным движением материальной точки называют движение, при котором скорость меняется с течением времени.

Одной из характеристик неравномерного движения является ускорение. Простейший вид неравномерного движения – равнопеременное движение.

• Равнопеременное движение– это:

1. движение, при котором за любые равные промежутки времени скорость точки (тела) изменяется на одну и ту же величину,

2. движение, при котором ускорение аматериальной точки остается постоянным.

Интегрируя соотношения, определяющие мгновенную скорость (1.4) и мгновенное ускорение (1.7), можно получить основные законы кинематики материальной точки.

• Законыкинематики:

первое из уравнений системы называется законом изменения скорости – V=V(t), второе – законом движения –S=S(t);V₀– начальная скорость, т. е. скорость материальной точки в момент времениt=0,a– ее ускорение.

Законы (1.8) включают в себя два частных случая:

1. Равнопеременное движение без начальной скорости: начальная скорость V₀ равна нулю, ускорение а не равно нулю и

2. Равномерное движение со скоростью V₀ и ускорением а равным нулю. Законы кинематики в этих случаях принимают следующий вид:

и

В координатной записи уравнения (1.8) имеют следующий вид:

(1.8а)

Закон движения – S=S(t) позволяет определить координаты движущейся материальной точки в произвольный момент времени. Учитывая, что S = r₁ – r₀ запишем:

.

Из последнего соотношения следует, что координата Х в момент t равна

.

Механические движения различаются также по виду траекторий: прямолинейное, вращательное и криволинейное. Если модуль перемещения dr=dr по величине равен пройденному пути ds, то материальная точка движется по прямой линии. В этом случае модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

.

Соотношение (1.9) – основное при решении задач по кинематике. Интегрируя его, можно найти длину пути, пройденного телом за время от t₁ до t₂:

.

Для равномерного движения со скоростью V=const из (1.10) следует:

,

здесь t=(t₂-t₁) – время движения.

2. 1.4. Кинематика движения по окружности

Если материальная точка М движется по окружности (см. рис. 1.3), то ее положение определяют вектором угла d¹, который образован ее радиус-вектором R с некоторой, произвольно выбранной осью Х.

Рис.1. 3. На рисунке обозначены: V – линейная скорость, d – угол поворота радиус-вектора точки за время dt, d – вектор угла поворота,  – угловая скорость

Вектор угла d можно определить следующим образом:

,

здесь e_Z – единичный вектор оси вращения Z. Заметим, что модуль радиус-вектора материальной точки равен радиусу окружности, по которой она движется: R=R.

При решении задач удобно выбрать направление оси Х так, чтобы она проходила через начальное положение движущейся точки. Модуль вектора угла d численно равен углу поворота радиус-вектора, измеренному в радианах; направление d определяется по одной из альтернативных (Б.I) формулировок правила буравчика (правого винта).

• Правилобуравчика(Б.I): если расположить ось буравчика вдоль оси вращения и вращать его рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора углаd.

Движение материальной точки (а также центра масс материального тела) по окружности характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением . Как в кинематике поступательного движения, можно ввести понятие средней и мгновенной угловой скорости, углового ускорения.

• Средняя угловая скорость _CP равна отношению угла поворота  радиус-вектора материальной точки ко времени t, за которое этот поворот произошел:

,

где e_Z– единичный вектор оси вращенияZ.

Средняя угловая скорость _CP показывает, на какой угол повернулся радиус-вектор материальной точки за единицу времени. Измеряется она в единицах рад/c, чаще, опуская наименование "радиан" используют секунду в минус первой степени (с ^–1).

• Мгновенная угловая скорость – это угловая скорость движения материальной точки в данный момент времени, в данной точке траектории.

• Мгновеннаяугловаяскоростьω– векторная физическая величина, равная первой производной угла поворота радиус-вектора материальной точки по времени:

Физический смысл мгновенной и средней угловой скорости одинаков – они характеризуют угол, на который повернулся радиус-вектор за единицу времени. Соотношения (1.12) и (1.13) указывают, что векторы угловой скорости параллельны вектору угла поворота d.

• Векторы средней и мгновенной угловой скорости откладывают на оси вращения, их направление определяется по правилу (Б.I) буравчика (правого винта):

если расположить буравчик вдоль оси вращения и вращать рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора угловой скорости.

• Среднееугловоеускорение(или)– векторная величина, равная отношению приращения угловой скоростик промежутку времени, за который это изменение произошло:

.

Угловое ускорение показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени.

• Мгновенноеугловоеускорение(или) – векторная величина, равная первой производной угловой скоростиили второй производной углаповорота по времени:

Угловое ускорение измеряется в рад/с², или с ^–2. Как следует из (1.12) и (1.13), угловое ускорение откладывают на оси вращения. При условии, что вектор совпадает по направлению с вектором угловой скоростиω, имеет место ускоренное вращение, если вектор направлен противоположно векторуω, то характер вращения – замедленный.

Основными характеристиками вращательного движения являются:

• периодвращения(обращения) Т – время одного полного оборота.

• частотавращения n (используют также обозначенияf, или) – число полных оборотов в единицу времени.

Период вращения Т измеряется в секундах ( [T]=c), частота вращения в с^–1( [n]=c^-1).

Очевидна связь частоты и периода вращения:

.

Положив в соотношении (1.12) =2иt=T, получим для средней угловой скорости:

. .

При равнопеременном вращательном движении угол поворота , угловая скоростьи угловое ускорениесвязаны соотношениями, аналогичными соотношениям, полученным для поступательного движения. Интегрируя соотношения (1.13) и (1.15), приходим к основным уравнениям кинематики вращательного движения:

здесь ₀– начальная угловая скорость.

Эти уравнения решают основную задачу кинематики для вращательного движения, если известны начальная угловая скорость ₀и угловое ускорение.

Приведем важное соотношение, определяющее число Nоборотов, совершенных телом:

,

где положительный знак пишется при ускоренном вращении, знак минус – при замедленном.