7.1. Пружинный маятник

Характер колебательного движения определяет уравнение динамики Ньютона, анализ которого показывает, что колебания возникают в системе при наличии силы, направленной к положению равновесия, т. е. в сторону, противоположную смещению. Такую силу называют возвращающей или восстанавливающей силой. Сказанное выше легко рассмотреть на примере движения пружинного маятника – системы, состоящей из тела массой m, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости (упругости) k. Пусть начальная длина ненагруженной пружины равна ℓ. На тело m действуют сила тяжести mg и сила упругости F = – kx, здесь х – вектор абсолютного удлинения пружины.

Рис. 7. 2. Пружинный маятник. А) равновесное состояние, B) начальное возмущение, при котором пружина получила дополнительное удлинение х

Уравнения, описывающие состояние равновесия маятника и его движение, имеют следующий вид:

Если записать закон Гука для обоих состояний колебательной системы А и B ,и использовать определение ускорения, то систему уравнений (2.1) можно привести к виду:

Здесь Х_А – абсолютная деформация пружины в состоянии равновесия маятника. Вычитая полученные уравнения, получим:

.

Разделим полученное уравнение почленно на m, введем обозначение k/m = ² и, после проецирования на ось Х, запишем в следующем виде:

.

Решение полученного уравнения, как уже известно, имеет вид:

или:

,

параметры а и определяются начальными условиями (см. пример 7.3).

Замечание.

Сила F, входящая в уравнение Ньютона, как правило, представляет собой равнодействующую нескольких сил F_i. Может случиться так, что каждая из этих сил в отдельности является возвращающей и вызывает гармонические колебания. В силу линейного характера уравнения (7.6), его можно свести к системе уравнений

.

Таким образом, механическая система может участвовать сразу в нескольких колебательных движениях, и значение колеблющейся величины в каждый момент времени будет равно сумме значений составляющих колебаний. Сформулированное положение составляет так называемый принцип суперпозиции колебаний.

Математически принцип суперпозиции истолковывается так. Уравнение (7.6) является частным случаем уравнения вида:

.

В номенклатуре математического анализа уравнение вида (7.10) числится как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (коэффициенты a и b, в частном случае, могут быть нулями). Последнее определение требует комментария. Линейным уравнение называется потому, что оно содержит неизвестную функцию и ее производные в степени не выше первой, дифференциальным т. к. содержит производные или дифференциалы неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). В обыкновенном дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит только от одной переменной. Наконец, порядок уравнения определяется наивысшим порядком производной, входящей в него.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если функции Y₁(x) и Y₂(x) являются какими-либо решениями уравнения (7.10), то функция Y = c₁Y₁+c₂Y₂ (где с₁ и с₂ – некоторые постоянные), также является его решением. При этом, если функции Y₁(x) и Y₂(x) линейно независимы⁵, то Y = c₁Y₁+c₂Y₂ является общим решением указанного уравнения.