Задачи к главе 6 для самостоятельного решения

6.1. Три лодки одинаковой массы Mдвижутся по инерции друг за другом с одинаковой скоростьюv.Из средней лодки в крайние одновременно перебрасы­вают грузы массойmсо скоростьюuотносительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания? Сопротивление воды не учитывать.

, V₂ =V, .

6.2. Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом р под углом к первоначальному направлению. На какое минимальное время должен быть включен двигатель с силой тягиFи как при этом нужно ориентировать ось двигателя?

t= 2p·(sin/2)/F, под углом= (+)/2 к начальной скорости.

6.3. Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя имел скорость v.После отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1,01v, при этом отделившаяся ступень удаляется относительно ко­рабля со скоростью 0,04v. Какова масса последней ступени, если масса корабля равнаm₀ ?

m = m₀/3.

6.4. Граната, летевшая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

v₂ = 12,5 м/с.

6.5. Тело массой m соскальзывает с наклонной плоскости на неподвиж­ную платформу. Какую скорость будет иметь платформа, когда груз упадет на нее? Масса платформы M,высота начального положения телаh,угол наклона плоскости к горизонту,коэффициент трения между наклонной плоскостью и теломk. Платформа движется без трения.

6.6. Плот массой М = 2000 кг находится на расстоянии s= 2 м от берега. Автомобиль массойm =1000 кг перемещается от одного края плота к другому. Сможет ли при этом плот пристать к берегу, если длина плотаL= 7 м.

Сможет.

6.7. На конце соломинки, лежащей на гладком столе, сидит кузнечик. С какой минимальной скоростью он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец соломинки? Трение между столом и соломинкой не учитывать. Масса соломинки М, ее длина L,масса кузнечика m.

.

6.8. Снаряд массой m₁= 20 кг, летевший со скоростьюv₁= 500 м/с под углом= 30° к горизонту, попадает в платформу с песком массойm₂ = 10 т и застревает в песке. Определите скорость движения платформы, если первона­чально платформа двигалась навстречу снаряду со скоростьюv₂= 2 м/с.

v= 1,5 м/с.

6.9. Тело массой m= 1кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростьюv₀= 20м/с черезt= 3с упало на землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

= 633 Дж.

6.10. Насос выбрасывает струю воды диаметром d= 2 см со скоростьюV= 20 м/с. Найти мощностьN, необходимую для выбрасывания воды.

N=πρd²V³/8 = 1,26 кВт (ρ– плотность воды)

6.11. Какова мощность Nвоздушного потока сечениемS= 0,55 м²при скорости воздухаV=20м/с и нормальных условиях?

N= ½ρSV³= 2,84 кВт (ρ– плотность воздуха).

6.12. С какой наименьшей высоты hдолжен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы поехать по дорожке, имеющей форму "мертвой петли" радиусомR= 4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

h= 5R/2 = 10 м.

6.13. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m₁= 5кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростьюV= 1м/c. Масса конькобежцаm₂= 60 кг. Определить работу А, совершенную конькобежцем при бросании гири.

390 Дж.

6.14. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без противооткатного устройства так, что ствол его расположен в горизонтальном положении. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса m₁снаряда равна 10кг, и его скоростьV₂= 1км/с. На какое расстояниеLоткатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивленияf= 0,002?

.

6.15. Со шкива диаметром d= 0.48 м через ремень передается мощностьN= 9 кВт. Шкив вращается с частотойn= 240 мин^-1. Сила натяжения Т₁ведущей ветви ремня в 2 раза больше силы натяжения Т₂ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.

Т₁= 2N/(πnd) = 2,98 кН; Т₂=N/(πnd) = 1,49 кН.

6.16. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться разно замедленно и, сделав N= 80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения.

M=T/(2πN) = 1,99Hм.

6.17. Тело массы mбросили под угломс начальной скоростьюV₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

<Р> = 0, Р = mg(gt-V₀sinα).

6.18. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью = 5,0 рад/с, движется небольшое тело массыm= 100 г. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстоянияхr₁= 30 см иr₂= 50 см от оси вращения?

А = ½mω²() = 0,20 Дж.

6.19. Небольшая шайба массы mбез начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотойhи попадает на доску массыM, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости. Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

А = – μgh, где μ =mM/(m+M).

6.20. Парашютист массой m = 70 кг совершает затяжной прыжок и черезt= 14 с имеет скоростьV= 60 м/с.Считая движение парашютиста равноускоренным, найти работу по преодолению сопротивления воздуха.

.

6.21. Какую мощность должен развивать трактор при перемещении прицепа массойт= 5·10³кг вверх по уклону со скоростьюV= 1,0 м/с, если угол наклона α = 20°, а коэффициент трения прицепа μ = 0,20?

N=mgV(sinα+μcosα) = 26 кВт.

6.22. Пуля массойmударяется о баллистический маятник массой М и застревает в нем. Какая доля кинетической энергии пули перейдет в теплоту?

.

6.23. Какая энергия пошла на деформацию двух столкнувшихся шаров массамиm₁=m₂= 4,0 кг, если они двигались навстречу друг другу со скоростямиV₁= 3,0 м/с иV₂= 8,0 м/с, а удар был прямой неупругий?

ΔЕ = m₁m₂(V₁+V₂)²/2(m₁+m₂) = 120 Дж.

6.24. Шар скатывается по наклонной плоскости с углом наклона=30°. Какую скорость будет иметь центр шара относительно наклонной плоскости через 1,5 с, если его начальная скорость была равна нулю?

V= 5/7(gtsinα) = 5,2 м/с.

6.25. Найти полезную мощность двигателя, приводящего в движение платформу в виде диска массойm₁= 280 кг и радиусомR= 1,0 м, на краю которой стоит человек массойm₂= 60 кг, если за t=30 с платформа приобретает скорость, соответствующую частотеn= 1,2 об/с.

.

6.26. Диск массой m₁ = 5 кг и радиусом R = 5 см, вращающийся с частотой n = 10 об/мин, приводится в сцепление с неподвижным диском массой m₂ = 10 кг такого же радиуса.Определить энергию, которая пойдет на нагревание дисков, если при их сцеплении скольжение отсутствует.

ΔΕ = 2π²n²R²m₁m₂/(m₁+m₂) =16 Дж.

Решение задач по динамике колебаний

Пример 7.1.

Маятник представляет собой невесомый стержень, на котором закреплены два небольших одинаковых груза – один на расстоянии L₁ = 15 см, другой на расстоянии L₂ = 30 см от точки подвеса. Определить период колебаний маятника.

T = ?

L₁ = 15 см, L₂ = 30 см

Решение.

Период колебаний физического маятника определяется формулой:

, (1)

где M – масса маятника, I – его момент инерции, L – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника. Выразим величины, определяющие величину периода.

Пренебрегая массой стержня, получим, что M = 2m, момент инерции маятника, как аддитивная величина, равен:

.

Расстояние L найдем, используя определение центра масс:

. (2)

Подставляя найденные величины в (1), получим:

.

Численные вычисления дают Т  1 с.

Пример 7.2.

Пружинный маятник, колеблющийся в жидкой среде, в течение 50 секунд потерял 0,6 своей начальной энергии. Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника 5 г.

r = ?

t= 50c,m= 5 г = 510 ^–3кг,Е = Е₀– Е = 0,6Е₀, илиE/E₀= 0,4

Решение.

Колебания маятника в жидкой среде (с трением) описываются уравнением:

, где  = r/m. (2)

Полная энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды:

,

здесь k – коэффициент жесткости пружины.

Зависимость полной энергии маятника от времени имеет вид:

.

По условию Е=0,4Е₀. Тогда

.

Учитывая (2), имеем:

,

откуда

r9,1610 ^–5 кгс ^–1.

Пример 7.3.

Груз массой m = 10 кг, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 10 Н/см. Сила сопротивления движению R пропорциональна первой степени скорости груза: R = V, где  = 1,6 H с/см. Найти закон движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 4 см, и ему была сообщена вниз начальная скорость V₀ = 4 см/с.

х = х(t)

F_ТР=rV, m=10 кг, k=10 Н/cм=10 ³ Н/м, r=1,6 Н/см=1,610³ Н/м,

х₀=4 см=410^–2 м, V₀=4 cм/с=410^–2 м/c.

Решение

Движение груза описывается уравнением (7.22)

, (1)

где ,=r/2m.

Подставив числовые значения, находим, что ₀=10 рад/с, =8 рад/с; таким образом, <, и в задаче рассматривается случай малого сопротивления (см. (7.4)).

Закон движения груза имеет вид:

, (2)

частота колебаний равна .

Для определения постоянных А₀ и  воспользуемся начальными условиями:

, (3)

Выразим из (3) А₀ и подставим в (4). Имеем:

(5)

Формула (5) позволяет получить выражение для :

.

Таким образом, искомое уравнение движения маятника имеет следующий вид:

.

Используя найденные ранее ₀=10 рад/с, =8 рад/с и начальные значения х₀ и V₀ находим: =0,59 рад и =6 рад/с.

Итак, груз совершает затухающие колебания по закону:

10^–2 м. (6)