Взаимосвязь угловых и линейных характеристик при движении по окружности
Обратимся вновь к рисунку 1.3, чтобы установить связь линейной и угловой скоростей при движении по окружности. Для бесконечно малого угла поворота dφ путь dS, пройденный частицей равен длине дуги окружности, т. е.:
dS=Rd.
На основании соотношения (1.9) модуль Vлинейной скорости найдем дифференцированием:
Векторное произведение векторов a и b есть вектор с (обозначается c=[a,b]), модуль которого равен произведению модулей векторов-сомножителей на синус угла между этими векторами. Направление вектора векторного произведения определяется по правилу буравчика (Б.II).
Правило буравчика (Б.II) для нахождения направления вектора векторного произведения c=[a,b]:
отложить векторы a и b от одной точки,
провести через них плоскость,
расположить буравчик перпендикулярно полученной плоскости,
вращать рукоятки буравчика от первого вектора-сомножителя a ко второму b в направлении меньшего угла,
направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора с векторного произведения.
|
|
Рис. 1.4. К определению векторного произведения векторов.
Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях a и b, как на сторонах |
,
или
,
где
.Анализируя направления векторов V,Rи(см. рис. 1.3) приходим к выводу, что они связаны посредством следующего векторного произведения:
.
Формулу (1.21) называют формулой Эйлера.
Покажем, что движение материальной точки по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью представляет собой равнопеременное движение. Поскольку мгновенная линейная скорость V всегда направлена по касательной к траектории в данной ее точке, то (см. рис. 1.5), оставаясь постоянной по модулю, она непрерывно изменяется по направлению, поэтому скорости движущейся точки в положениях А и В не равны: VA VB. Изменение вектора скорости свидетельствует о том, что материальная точка на окружности испытывает ускорение.
Т
рис.1.
|
|
Рис. 1.5. К анализу равномерного вращательного движения точки. AB=ОА=R,R– радиус окружности |
Пусть в момент времени t материальная точка находилась в точке А траектории, а через малый промежуток времени dt переместилась в близко расположенную точку В (на рисунке 1.5 дуга АВ для наглядности показана увеличенной). Изменение скорости за время dt равно разности dV=VB – VA, показанной на рисунке.
Рассмотрим треугольники АОВ и CВD. Эти треугольники подобны: они равнобедренные (OA=OB=R и ВС=BD=V) и имеют равные углы AOB=DBC=d (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия треугольников АОВ и CВD следует, что
AB:AO=DC:BD. (*)
Длина дуги AB=Rd (d – центральный угол, опирающийся на дугу АВ), из треугольника ОАВ выразим хорду АВ: AB=2Rsin(d/2)Rd. Для бесконечно малого промежутка времени dt угол d мал, поэтому длина дуги приблизительно равна хорде:
CD=dV=2Vsin(d/2)Vd=adt.
Подставляя полученные величины отрезков в пропорцию (*), имеем
Rd:R=adt:V.
Откуда следует: что величина ускорения численно равна:
a=dV/dt=Vd/dt=V. (**)
Используя соотношение (1.20) получим, что
.
Для определения направления вектора ускорения рассмотрим треугольник ВСD. Направление вектора а, как уже отмечено, совпадает с направлением вектора dV, в нашем случае – с направлением отрезка CD. Из треугольника ВCD следует, что угол – угол между векторами VА и dV равен (-d)/2. Очевидно, что при d0 угол /2. Таким образом, вектор dV, а значит и вектор ускорения а, при dt0 стремятся к положению нормали к вектору скорости V.
Таким образом, при движении по окружности с постоянной по величине линейной (или угловой) скоростью, материальная точка испытывает постоянное ускорение, направленное по радиусу к ее центру. Такое ускорение называют центростремительным. Формулу для центростремительного ускорения в векторном виде записывают, используя векторное произведение векторов линейной V и угловой скорости:
.
Используя соотношение (1.21) и векторное тождество
последнюю формулу можно записать так:
.
Вектор R/R=n – есть вектор внешней нормали к траектории.