- •Лекционный блок
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Скорость и ускорение
- •1.3. Равномерное и равнопеременное движение
- •1.4. Кинематика движения по окружности
- •Взаимосвязь угловых и линейных характеристик при движении по окружности
- •1.6. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.7. Кинематика произвольного криволинейного движения
- •1.8. Кинематика колебательного движения
- •1.8.1. Сложение колебаний одного направления
- •1.8.2. Биения
- •1.8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •1.9. Кинематика волнового движения
- •1.9.1. Уравнение плоской волны
- •1.9.2. Общие характеристики волны
- •1.9.3. Распространение, отражение и преломление волн
- •1.9.4. Продольные и поперечные волны
- •1.9.5. Интерференция волн
- •1.9.6. Стоячие волны
- •1.9.7. Эффект Доплера
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности
- •2.1.1. Классический закон сложения скоростей
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Силы в механике
- •2.3.1. Сила всемирного тяготения
- •2.3.2. Сила тяжести
- •2.3.3. Механическая связь. Реакция связи
- •2.3.4. Сила трения.
- •2.3.6. Сила упругости. Закон Гука
- •2.4. Третий закон Ньютона
- •Материальной точки (тела)
- •2.5.1. Импульс материальной точки
- •2.5.2. Импульс механической системы
- •Динамика движения материальной точки по окружности
- •2.7. Динамика вращательного движения относительно неподвижной оси
- •2.7.1. Момент инерции твердого тела
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Глава 3. Статика
- •Глава 4. Работа силы. Мощность
- •4.1. Консервативные и неконсервативные силы в механике
- •4.1.1. Работа силы тяжести
- •4.1.2. Работа силы всемирного тяготения
- •4.1.3. Работа силы упругости
- •Глава 5. Энергия
- •5.1. Потенциальная энергия
- •5.2. Потенциальная энергия и сила поля
- •5.3. Кинетическая энергия поступательного движения
- •5.4. Кинетическая энергия вращательного движения
- •5.5. Полная механическая энергия тела (системы)
- •Глава 6. Законы сохранения
- •6.1. Закон сохранения импульса
- •6.2. Закон сохранения момента импульса
- •6.3. Закон сохранения механической энергии
- •6.3.1. Механическая энергия материальной точки
- •6.3.2. Механическая энергия материальной точки (тела) под воздействием произвольных сил
- •6.3.3. Механическая энергия системы
- •6.3.4. Упругое столкновение
- •Глава 7. Динамика малых колебаний
- •7.1. Пружинный маятник
- •7.2. Физический маятник
- •7.3. Математический маятник
- •7.4. Затухающие колебания
- •Влияние величины сопротивления на характер колебательного движения
- •7.6. Вынужденные колебания
- •7.7. Резонанс
- •Глава 8. Движение в неинерциальной системе отсчета
- •Кинематика движения в неинерциальной системе отсчета
- •8.2. Динамика движения в неинерциальной системе отсчета
- •Глава 9. Элементы гидро- и аэродинамики
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Уравнение Бернулли
- •9.3. Формула Торричелли
- •9.4. Горизонтальный поток жидкости
- •9.5. Подъемная сила
- •9.6. Течение вязкой жидкости
- •9.6.1. Установившаяся скорость
- •9.7. Гидростатика
- •9.7.1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды
- •9.7.2. Закон Архимеда.
- •Глава 10. Релятивистская механика
- •10.1. Кинематика специальной теории относительности
- •10.1.1. Интервал
- •10.1.2. Преобразования Лоренца
- •10.1.3. Относительность одновременности
- •10.1.4. Относительность длины
- •10.1.5. Относительность длительности событий
- •10.1.6. Релятивистское преобразование скоростей
- •10.1.7. Релятивистское преобразование ускорений
- •10.1.8. Релятивистский эффект Доплера
- •10.2. Динамика специальной теории относительности
- •10.2.1. Релятивистский импульс
- •10.2.2. Основное уравнение динамики сто
- •10.2.3. Релятивистское выражение для энергии
- •10.2.4. Взаимосвязь массы и энергии
- •10.2.5. Связь между энергией и импульсом тела
- •Соотношения (10.46) и (10.52) показывают, что энергия тела и его импульс зависят от системы отсчета, принятой в данном конкретном случае. Покажем, что величина
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения
- •Примерная схема решения задач по кинематике колебаний
- •Задачи к главе I для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 3 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 6 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе семь для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 10 для самостоятельного решения
Влияние величины сопротивления на характер колебательного движения
При движении материальной точки в реальных условиях возникает сила сопротивления, которая при малых скоростях может, в некотором приближении, считаться прямо пропорциональной первой степени скорости точки: FТР = rV, где r – постоянный коэффициент.
В зависимости от коэффициента сопротивления различают три вида затухающих колебательных движений:
А. Случай малого сопротивления ( = r/2m < 0).
Этот случай подробно рассмотрен выше. Было установлено, что пружинный маятник с трением совершает затухающие колебания, подчиняющиеся следующему закону:
.
Колебания, описываемые формулой (7.23), строго говоря, не является гармоническим, так как их амплитуда монотонно убывает со временем. По аналогии со свободными гармоническими колебаниями можно ввести понятия о круговой частоте (см. (7.24)), периоде (7.26) и амплитуде (7.25) таких колебаний.
В. Случай большого сопротивления ( > 0).
Анализ влияния сопротивления в этом (и следующем разделе С) проведем качественно. Общее решение уравнения (7.22) не содержит функции синуса или косинуса. Система движется согласно уравнению:
.
Благодаря экспоненциальному множителю колебание быстро затухает (при t имеем x0). Характер движения зависит от начальных условий. При х0 0 и V0>0, т. е. когда в начальный момент материальная точка смещена из положения статического равновесия в направлении оси х, и ей сообщена начальная скорость в том же направлении, материальная точка вначале отклоняется в указанном направлении (рис. 7.6, кривая I), а затем асимптотически приближается к положению равновесия (не переходя через него). При х0 >0 и V0<0 (и ), то есть, когда в начальный момент материальная точка смещена из положения статического равновесия нах0, и ей сообщена противоположно направленная скорость, модуль которой удовлетворяет указанному выше неравенству, материальная точка приближается к положению равновесия, проходит его (рис. 7.6, кривая 2) и отклоняется в противоположную сторону и затем асимптотически приближается к положению равновесия (больше не переходя через него).
|
Рис. 7.6. Апериодические колебания |
При х0 >0 и V0<0 (и), т. е. когда в начальный момент материальная точка смещена из положения равновесия в положительном направлении оси и отпущена без начальной скорости либо ей сообщена в противоположном направлении начальная скорость, модуль которой удовлетворяет указанному неравенству, материальная точка асимптотически приближается к положению равновесия, не переходя через него (кривая 3, на рис. 7.6).
С. Предельный случай ( = k).
Материальная точка совершает апериодическое движение в соответствии с уравнением
.
При t смещение х становится неопределенным: 0. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя указывает, что , что говорит о затухании движения.
Характер затухания зависит от начальных условий движения. При х0 0 и V0>0 движение маятника соответствует кривой 1 на рисунке 7.6. При х0 >0 и V0<0 (при ) движение соответствует кривой 2. Приx0>0 и V0<0 (причем |х0|<х0) движение соответствует кривой 3.