6.3.4. Упругое столкновение

• Абсолютно упругим называют столкновение тел, которое не сопровождается изменением их внутреннего состояния. В ходе абсолютно упругого столкновения происходят превращения механической кинетической энергии движущихся тел в потенциальную энергию и наоборот. При упругом ударе тела деформируются (сплющиваются), их кинетическая энергия частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций. Под действием возникших сил упругости тела стремятся перейти в недеформированное состояние. При этом энергия деформации вновь переходит в энергию поступательного движения, и тела разлетаются в разные стороны.

Таким образом, при анализе процесса упругого столкновения достаточно рассмотреть механическую энергию сталкивающихся тел.

• Центральный удар – удар, при котором тела до удара движутся вдоль линии, соединяющей их центры масс.

Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар двух шаров, имеющих массы m₁ и m₂ и движущихся поступательно (без вращения) со скоростями V₁₀ и V₂₀. Обозначим через V₁ и V₂ скорости первого и второго шаров после столкновения. Как отмечено выше, в процессе столкновениявыполняется закон сохранения механической энергии:

.

Если промежуток времени до удара и после него стремится к нулю, то применим также закон сохранения импульса системы:

.

Соотношения (615) и (6.16) удовлетворяются одновременно, и образуют систему уравнений:

Решая систему (6.17) найдем скорости, которые приобретают шары в результате столкновения. Заметим, что очевидным тривиальным решением системы является решение вида:

V₁₀=V₁ и V₂₀=V₂.

Физически такое решение означает, что скорости шаров не изменились, а, значит, их столкновение не произошло. Будем считать, что V₁₀V₁ и V₂₀V₂. Это замечание позволяет преобразовать уравнения системы следующим образом:

Разделив почленно уравнения системы, имеем:

Если умножить второе уравнение системы (6.19) на m₂ и вычесть его из первого, то после преобразований получим для скорости V₁ первого шара:

.

Умножив второе уравнение системы (6.19) на m₁ и сложив со вторым, получим:

Замечания

1. Если m₁=m₂, то из (5.6) и (5.7) следует, что

V₁= V₂₀иV₂= V₁₀.

2. Если m₁=m₂, V₂=0, а V₁₀0 то из (5.6) и (5.7) следует, что

V₁=0, аV₂= V₁₀.

3. Если m₂, V₂₀=0, V₁₀0 то из (5.6) и (5.7) следует, что

.

4. Если m₂, V₁₀0 и V₂₀0, то из (5.6) и (5.7) следует, что

.

Глава 7. Динамика малых колебаний

Теория малых колебаний может быть рассмотрена на основании энергетических соотношений. Рассмотрим одномерную механическую систему, находящуюся в стационарном поле консервативных сил. Очевидно, что в этом случае система обладает потенциальной энергией U, которая является функцией одной координаты Х: U=U(Х). Предположим, что зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид, представленный на рисунке 7.1.

Рис. 7.1. Зависимость U(X) типа "потенциальной ямы"

Поместим начало одномерной системы координат в точку, соответствующую минимуму потенциальной энергии U_МИН =U(0). Минимальное значение энергии можно положить равным нулю, т. к. потенциальная энергия, в общем случае, определена с точностью до произвольной постоянной.

Предположим, что материальная точка М совершила перемещение dХ из начала координат в положительном направлении оси Х. При этом ее потенциальная энергия стала равна U(X). Разложим функцию U(X) в ряд Маклорена в окрестности точки Х = 0 и пренебрежем малыми членами степени выше второй по dX:

Поскольку при Х=0 потенциальная энергия имеет минимум, то dU/dX = 0; кроме того, U(0) = 0, поэтому из (7.1) следует, что

,

где (d²U/dX²)_Х=0 = k>0, т. к. дифференцируемая функция имеет минимум в точке Х = 0.

Последнее соотношение позволяет найти силу, действующую на материальную точку М. В соответствии с (5.11):

,

поэтому проекция F на ось Х равна

.

Силу, пропорциональную смещению (подчиняющуюся) закону Гука (2.20), независимо от ее физической природы, называют упругой. Знак минус в предыдущих формулах означает, что проекция F_X отрицательна, т. е. она направлена к положению равновесия. Силу, обладающую такими двумя свойствами, называют возвращающей или восстанавливающей силой.

Заметим, что в выбранной системе координат (см. рис. 7.1) dX = X, поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

имеем уравнение движения материальной точки в потенциальной яме:

.

Несложно проверить подстановкой, что решением этого уравнения является функция вида

.

Это означает, (сравните с (1.33)), что движение материальной тачки носит колебательный характер, причем частота колебаний равна

.

Очевидно, что период пружинного маятника равен

.

Запишем некоторые важные энергетические соотношения. Как следует из (7.2) потенциальная энергия колеблющегося тела может быть найдена по формуле, аналогичной формуле для потенциальной энергии деформированной пружины:

,

кинетическая – по известной формуле:

.

При отсутствии трения, или другой диссипативной силы, полная энергия Е колебательной системы остается постоянной:

.

Используя уравнение для смещения (1.33) в колебательном процессе, запишем выражения (7.3) и (7.4) для энергий следующим образом:

и .

Наконец, формулы для энергий U и Т можно представить в виде:

,

,

откуда следует, что потенциальная (и кинетическая) энергия совершает гармоническое колебание с удвоенной, по сравнению с циклической частотой колебаний, частотой 2.

В общем случае движение системы принято описывать при помощи обобщенных координат, число которых соответствует числу степеней свободы системы.

Дополнения.

• Число степеней свободы – число независимых координат, однозначно определяющих положение объекта в пространстве.

В одномерном случае, для описания движения материальной точки достаточно одной обобщенной координаты, роль которой может выполнять также обычная декартова координата Х. Обозначим обобщенную координату через q. Первую производную от обобщенной координаты q по времени t – dq/dt называют обобщенной скоростью.

Если полную энергию колебательной системы можно представить в виде

,

то циклическую частоту колебаний системы можно вычислять по формуле:

.