5.2. Потенциальная энергия и сила поля
Зная силы, действующие на частицы механической системы, можно определить величину ее потенциальной энергии. Для основных сил, рассматриваемых в механике, соответствующие расчеты были проведены в пункте 4.1. Можно решить обратную задачу: по величине потенциальной энергии определить величину действующей консервативной силы. Рассмотрим материальную точку m, находящуюся в поле консервативных сил. Очевидно, ее потенциальная энергия зависит от положения, т. е. от координат материальной точки: U=U(X,Y,Z). Предположим, что материальная точка m совершила бесконечно малое перемещение dS. Сила, действующая на нее, совершила при этом элементарную работу dA. Известно (5.1), что работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, т. е.:
.
Для определения вектора силы достаточно определить его проекции на оси прямоугольной системы координат. Уравнение (5.6) можно записать так
.
С другой стороны, дифференциал dU функции U равен:
.
Сравнивая коэффициенты при dX, dY и dZ в последних соотношениях, приходим к выводу, что проекции вектора силы на оси координат равны первым производным потенциальной энергии, взятым с противоположным знаком:
Соотношения (5.9) принято записывать в векторной форме следующим образом:
,
или иначе, с использованием градиента – векторного оператора Гамильтона
.
Так:
.
5.3. Кинетическая энергия поступательного движения
Пусть на материальную точку, масса которой равна m, действует сила F. Запишем уравнение движения этой точки:
.
Умножим обе части уравнения скалярно на элементарное перемещение dr и преобразуем полученное выражение с учетом того, что элементарное перемещение dr=Vdt:
Таким образом, получаем
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
Кинетической энергией поступательного движения материальной точки (тела) называют скалярную величину Т=
,
равную одной второй произведения ее
(его) массы на квадрат скорости.
Соотношение (5.13) позволяет указать физический смысл кинетической энергии. Кинетическая энергия показывает, какую работу совершили силы, чтобы покоящемуся первоначально телу сообщить скорость V.
Формула для кинетической энергии была получена с использованием второго закона Ньютона, поэтому она верна только в инерциальной системе отсчета. Заметим, что величина кинетической энергии материальной точки зависит от выбора системы отсчета, поскольку ее скорость в разных ИСО различна (см. (2.4.)). Можно показать, что кинетическая энергия Т в некоторой системе отсчета К равна:
,
где
m
– масса частицы (тела), T
– кинетическая энергия материальной
точки в подвижной системе отсчета К,
движущейся со скоростью V
относительно неподвижной системы К,
–
скорость частицы (центра масс тела)
относительно подвижной системы отсчета
К.
Кинетическая энергия – величина аддитивная, т. е.
кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех ее составляющих:
,
здесь mi и Vi – масса и скорость частиц (тел) системы.