- •Лекционный блок
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Скорость и ускорение
- •1.3. Равномерное и равнопеременное движение
- •1.4. Кинематика движения по окружности
- •Взаимосвязь угловых и линейных характеристик при движении по окружности
- •1.6. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.7. Кинематика произвольного криволинейного движения
- •1.8. Кинематика колебательного движения
- •1.8.1. Сложение колебаний одного направления
- •1.8.2. Биения
- •1.8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •1.9. Кинематика волнового движения
- •1.9.1. Уравнение плоской волны
- •1.9.2. Общие характеристики волны
- •1.9.3. Распространение, отражение и преломление волн
- •1.9.4. Продольные и поперечные волны
- •1.9.5. Интерференция волн
- •1.9.6. Стоячие волны
- •1.9.7. Эффект Доплера
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности
- •2.1.1. Классический закон сложения скоростей
- •2.2. Второй закон Ньютона
- •2.3. Силы в механике
- •2.3.1. Сила всемирного тяготения
- •2.3.2. Сила тяжести
- •2.3.3. Механическая связь. Реакция связи
- •2.3.4. Сила трения.
- •2.3.6. Сила упругости. Закон Гука
- •2.4. Третий закон Ньютона
- •Материальной точки (тела)
- •2.5.1. Импульс материальной точки
- •2.5.2. Импульс механической системы
- •Динамика движения материальной точки по окружности
- •2.7. Динамика вращательного движения относительно неподвижной оси
- •2.7.1. Момент инерции твердого тела
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Глава 3. Статика
- •Глава 4. Работа силы. Мощность
- •4.1. Консервативные и неконсервативные силы в механике
- •4.1.1. Работа силы тяжести
- •4.1.2. Работа силы всемирного тяготения
- •4.1.3. Работа силы упругости
- •Глава 5. Энергия
- •5.1. Потенциальная энергия
- •5.2. Потенциальная энергия и сила поля
- •5.3. Кинетическая энергия поступательного движения
- •5.4. Кинетическая энергия вращательного движения
- •5.5. Полная механическая энергия тела (системы)
- •Глава 6. Законы сохранения
- •6.1. Закон сохранения импульса
- •6.2. Закон сохранения момента импульса
- •6.3. Закон сохранения механической энергии
- •6.3.1. Механическая энергия материальной точки
- •6.3.2. Механическая энергия материальной точки (тела) под воздействием произвольных сил
- •6.3.3. Механическая энергия системы
- •6.3.4. Упругое столкновение
- •Глава 7. Динамика малых колебаний
- •7.1. Пружинный маятник
- •7.2. Физический маятник
- •7.3. Математический маятник
- •7.4. Затухающие колебания
- •Влияние величины сопротивления на характер колебательного движения
- •7.6. Вынужденные колебания
- •7.7. Резонанс
- •Глава 8. Движение в неинерциальной системе отсчета
- •Кинематика движения в неинерциальной системе отсчета
- •8.2. Динамика движения в неинерциальной системе отсчета
- •Глава 9. Элементы гидро- и аэродинамики
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Уравнение Бернулли
- •9.3. Формула Торричелли
- •9.4. Горизонтальный поток жидкости
- •9.5. Подъемная сила
- •9.6. Течение вязкой жидкости
- •9.6.1. Установившаяся скорость
- •9.7. Гидростатика
- •9.7.1. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды
- •9.7.2. Закон Архимеда.
- •Глава 10. Релятивистская механика
- •10.1. Кинематика специальной теории относительности
- •10.1.1. Интервал
- •10.1.2. Преобразования Лоренца
- •10.1.3. Относительность одновременности
- •10.1.4. Относительность длины
- •10.1.5. Относительность длительности событий
- •10.1.6. Релятивистское преобразование скоростей
- •10.1.7. Релятивистское преобразование ускорений
- •10.1.8. Релятивистский эффект Доплера
- •10.2. Динамика специальной теории относительности
- •10.2.1. Релятивистский импульс
- •10.2.2. Основное уравнение динамики сто
- •10.2.3. Релятивистское выражение для энергии
- •10.2.4. Взаимосвязь массы и энергии
- •10.2.5. Связь между энергией и импульсом тела
- •Соотношения (10.46) и (10.52) показывают, что энергия тела и его импульс зависят от системы отсчета, принятой в данном конкретном случае. Покажем, что величина
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения
- •Примерная схема решения задач по кинематике колебаний
- •Задачи к главе I для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 3 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 6 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе семь для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 9 для самостоятельного решения
- •Задачи к главе 10 для самостоятельного решения
Задачи к главе 2 для самостоятельного решения
2.1. Определить, на каком расстоянии от поверхности Земли должен находиться спутник, если он вращается в плоскости экватора с периодом, равным периоду вращения Земли вокруг оси.
35870 км.
2.2. Какова должна быть продолжительность суток на Земле, чтобы тела, находящиеся на экваторе, были невесомы.
1,41 часа.
2.3. Тело массой 1 кг, закрепленное на конце невесомого стержня длиной 0,5 м, вращается в вертикальной плоскости в поле силы тяжести с постоянной частотой 0,2Гц. Вычислить разность сил, действующих на стержень в нижнем и верхнем положении.
1,6 Н.
2.4. Камень массой 0,5 кг, привязанный к веревке длиной 50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки в нижней точке окружности равна 44 Н. На какую высоту поднимется камень, если веревка отрывается в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?
2 м.
2.5. Определить плотность планеты, если тела на ее экваторе невесомы. Период обращения планеты вокруг оси – Т = 20 ч.
= 27, 25кг/м3.
2.6. Определить максимальную силу натяжения, которую выдерживает нить, к концу которой привязан шарик массой m = 500 г, если она разрывается, когда ее отклоняют на угол, больший 60°.
Т = 9,8Н.
2.7. На горизонтально вращающемся диске на расстоянии 1 м от вертикальной оси вращения лежит груз. При каком числе n оборотов в секунду груз начнет скользить, если коэффициент трения между грузом и диском 0,01?
n = 0,05 об/с.
2.8. Маленький шарик массы m, подвешенный на невесомой нити, отклоняют от положения равновесия на угол = 60° и отпускают. Определить натяжение нити в начальный момент движения.
Т = mg/2.
2.9. В конусе лежит шарик. Конус начинают вращать с угловой скоростью . На каком расстоянии от вершины конуса шарик будет находиться в состоянии равновесия? Угол раствора конуса равен 2.
L=g/(2cos).
2.10. Два тела массами m1 и m2 находятся на стержне, по которому они могут свободно двигаться. Тела соединены нитью длиной L. Стержень вращается с угловой скоростью относительно вертикальной оси вращения. Определить, на каком расстоянии от оси вращения установятся тела.
x1 = m1L/(m1 + m2), x2 = m2L/(m1 + m2).
2.11. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а плотность - 0,74 плотности Земли. Найти ускорение свободного падения на Марсе.
3,86 м/с2.
2.12. Найти линейную скорость и период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите на расстоянии Н=R от поверхности Земли, где R = 6400 км - радиус Земли. Ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 9,8м/с2.
v = 5, б км/с; Т = 4 ч.
2.13. Пуля попадает в шар массой М, висящий на нити длиной L, и застревает в нем. С какой максимальной скоростью может лететь пуля, чтобы нить не оборвалась? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна FMAX, масса пули m0.
2.14. Определить угловую скорость вращения двойной звездной системы. Массы звезд М1 и М2, расстояние между их центрами R. Найти также ускорения, с которыми движутся звезды.
; a1 = GМ2 / R2; a2 = GМ1 / R2.
2.15. Найти первую космическую скорость на планете, масса которой в 3 раза, а радиус в 2 раза больше, чем у Земли. Принять первую космическую скорость на Земле равной 8103 м/с.
9,8103 м/с.
2.16. Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня mи длинаL; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки раныaиb, а ее масса равнаm.
а) I = mL2/3; б) I = m(a2+b2)/3.
2.17. Тонкая однородная пластинка массы m=0,60 кг имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого а=200 мм.
I=ma2/6=4,0 г·м2.
2.18. Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина b=2,0 мм и радиусR=100 мм; б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конусаmи радиус его основанияR.
а) I = πρbR4/2=2,8 г·м2; б) I = 0,3mR2.
2.19. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом Rи массыmотносительно оси, совпадающей с его диаметром.
I=mR2/2.
2.20. Однородный диск радиуса Rимеет круглый вырез (рис. 1). Масса оставшейся части диска равнаm. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей: а) через точку О, б) через его центр масс.
а) IO = (13/24)mR2; б) IC=(37/72)mR2.
2.21. На ступенчатый блок (рис. 2) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой F, а к концу другой нити прикреплен груз массыm. Известны радиусыR1иR2блока и его момент инерцииIотносительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.
Рис 1. |
Рис. 2 |
2.22. Человек массой m1стоит на краю горизонтального однородного диска массойm2и радиусомR, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.
2.23. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I1 иI2, а угловые скорости –1и2. После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти: а) установившуюся угловую скорость вращения дисков; б) работу, которую совершили при этом силы трения.
а) ω=(I1ω1+I2ω2)/(I1+I2),
б) А = - [I1I2/2(I1+I2)](ω1 - ω2)2.
2.24. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массойm=0,4кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путьs=1,8м за времяt=3с. Определить момент инерцииJмаховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.
2.25. Вал массой m=100кг и радиусомR=5см вращался с частотойn=8c-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силойF=40Н, под действием которой вал остановился черезt=10с. Определить коэффициент тренияf.
2.26. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.
1) a=2g/3; 2) a=g/2.
2.27. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m=0.4кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростьюV=20м/с. Траектория мяча проходит на расстоянииr=0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростьюначнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерцииJчеловека и скамьи равен 6кг·м2.
На краю горизонтальной платформы, имеющий форму диска радиусом R=2м, стоит человек массойm1=80кг. Массаm2платформы равна 240кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростьюбудет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростьюV=2м/с относительно платформы.
2.29.В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной L=2,4 м и массойm=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотойn1=1 с-1. С какой частотойn2будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерцииJчеловека и скамьи равен 6 кг·м2.
2.30.Чему равен момент инерции тонкого прямого стержня длиной 0,5 м и массой 0,2 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, которая удалена на 0,15 м от одного из его концов?
6·10-2кг·м2.
2.31.На барабан радиусомR=10 см намотана нить, к концу которой привязан груз массойm= 0,50 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорениема=1,0 м/с2.
I=mR2(g-a)/a=4,4·10-2кг·м2.
2.32.Через блок, масса которогоm=100 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массамиm1=200 г иm2=300 г. Грузы удерживаются в неподвижном положении. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение блока, если его радиус 10 см? Трением пренебречь.
a=(m2-m1)g/(m1+m2+m/2)=1,8 м/с2; ε=(m2-m1)g/(m1+m2+m/2)R=18 с-2.
2.33.Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой массойm=10 кг. В момент, когда ведро находилось на высотеh=5,0 м от поверхности воды, рукоятка освободилась, и ведро стало двигаться вниз. Определить линейную скорость рукоятки в момент удара ведра о поверхность воды в колодце, если радиус рукояткиR=30 см, радиус вала воротаr=10 см, его массаm1=20 кг. Трением и массой троса, на котором подвешено ведро, пренебречь.
21 м/с.
2.34.Маховик массойm1=l,0 кг укреплен на шкиве радиусомr=5,0 см и массойm2=200 г, который приводится во вращение с помощью опускающейся гири массойm3=500 г, привязанной к концу намотанной на шкив веревки. Через какое время скорость маховика достигнетn=5,0 об/с? Считать, что вся масса маховика распределена по его ободу радиусомR=40 см.