4.Потенціальний характер електростатичного поля

1. Робота, яка здійснюється силами електричного поля при переміщенні заряду (q) на відрізок dī дорівнює dA=qEdl

(1)

Зокрема, робота при переміщенні dl одиничного позитивного заряду дорівнює:

dA = Edl(2)

за напрям шляху береться напрям дотичної

Нарешті, робота, яка здійснюється при переміщенні одиничного позитивного заряду на скінченому шляху L дорівнює :

(3)

Робота, яка здійснюється полем називається додатною, а - зовнішніми силами - від’ємною. Знак L біля інтеграла означає , що необхідно обчислити суму значень підінтегрального виразу (елементарних робіт ) для всіх елементів лінії L. Ця операція називається інтегруванням по лінії L.

2. Робота електричних сил на даному шляху L, взагалі кажучи, може залежати як від положення початкової і кінцевої точок шляху, так і від форми шляху.

Однак, як ми зараз покажемо, електричне поле нерухомих зарядів має ту надзвичайну особливість, що робота сил цього поля на шляху між двома довільними точками залежить лише від початкового і кінцевого положення переміщення і не залежить від форми шляху. Силові поля, які мають ці особливості, називаються полями консервативними або потенціальними.

Зауважимо, щов потенціальному полі робота сил поля по довільному замкнутому шляху повинна дорівнювати нулю.

Дійсно, вказаний замкнутий шлях 1L2L'1 можна довільним чином розбити на два : L і L'. Робота на шляху L' дорівнює, очевидно, взятій з оберненим знаком роботі на тому ж шляху , при проходженні його в зворотному напрямку від 1 до 2, яка в свою чергу в потенціальному полі за умовою дорівнює роботі на шляху L. Таким чином, загальна робота на всьому замкнутому шляху 1L2L'1 дорівнює нулю, що і треба було довести.

Мал.1

В полі нерухомих зарядів перемістивши заряд з 1 в 2 і потім з 2 в 1 , ми не здійснили ніяких змін в навколишньому просторі, тому не має ні виграшу в роботі, ні її втрати. Отже, робота на замкнутому шляху дорівнює 0

Навпаки, якщо робота сил поля на всякому замкнутому шляху дорівнює нулю, то робота цих сил на шляху між двома довільними точками 1 і 2 не залежить від форми шляху, тобто це поле потенціальне. Дійсно розглянемо два довільних шляхи L і L'. Складемо з них замкнутий шлях: 1L2L'1. Робота на замкнутому шляху за умовою дорівнює нулю. Значить A^(L)₁₂ = -A^(L')₂₁ або іншими словами = A^(L')₁₂, що і треба було довести.

Таким чином , рівність нулю роботи на довільному замкнутому шляху є необхідна і достатня умова незалежності роботи від форми шляху і може вважатися характерною ознакою потенціального поля, тобто

(4)

3. Переходячи до доведення потенціального характеру електростатичного поля, розглянемо спочатку роботу електричних сил в полі елементарного (точкового ) заряду q.

Робота цих сил при нескінченно малому переміщенні “пробного” одиничного позитивного заряду дорівнює:

dA = Edl = k(q/R³)Rdl = k(q/R²)dl cos (R,dl) =k(q/R²)dR (5)

dR - проекція переміщення пробного заряду dl на радіус-вектор R. dR разом з тим є приріст чисельного значення радіус-вектора R, тобто збільшення віддалі пробного заряду від q. Тому робота може бути представлена у формі повного диференціалу скалярної функції точки (—q/R):

Мал.2

(6)

R- чисельне значення радіус-вектора R. Таким чином, робота, яка здійснюється при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки P₁ в точку P₂по скінченому шляху L, дорівнює:

(7)

де R₁,R₂ - віддалі початкової і кінцевої точок шляху від заряду q.

Таким чином, робота електричних сил на довільному шляху в полі нерухомого елементарного (точкового) заряду дійсно залежить лише від положень початкової і кінцевої точки цього шляху і зовсім не залежить від форми шляху.

Таким чином, поле нерухомого елементарного (точкового) заряду є поле потенціальне. Очевидно, що сума потенціальних полів є також поле потенціальне, оскільки робота складових сил не залежить від форми шляху, то і робота рівнодійної від неї також не залежить . Оскільки поле довільної системи зарядів можна розглядати як суму полів кожного з елементів цих зарядів (принцип суперпозиції), то довільне електричне поле є поле потенціальне і задовольняє умову (4).

4. Інтегральна умова (4) може бути перетворена в умову диференціальну. Згідно теореми векторного аналізу (теорема Стокса) інтеграл по контуру можна перетворити в інтеграл по площі:

(8)

Оскільки площа S - довільна, то:

(9)

Умова (9) - умова потенціальності поля в диференціальній формі.

Умову (9) можна переписати у такому вигляді:

rot E=0=-rot gradφ

тобто

E=- gradφ(10)

Поняття про потенціал виникло в роботах Лагранжа в 1777р. Термін «потенціал» ввів Грін (1828) і Гаус (незалежно).

Знак (-) — так домовилися. Фізичний зміст: gradφ спрямований в сторону зростання потенціалу, а чисельна величина grad є мірою швидкості (бистроти) цього зростання. Таким чином, E - є міра швидкості спадання потенціалу.

Та обставина, що робота сил електростатичного поля по даному шляху залежить лише від положення початкової і кінцевої точок шляху, дає можливість ввести в розгляд надзвичайно важливе поняття потенціалу електростатичного поля.

Покажемо, що вибір E у вигляді (10) задовольняє умову потенціальності.

Перепишемо (10) в декартових координатах:

(10')

На підставі теореми Шварца для компонент rot E, одержимо:

(9')

або

rot E=0(9')

що і треба було показати.

Останнє співвідношення означає, що в даному полі немає вихорів, що його силові лінії не утворюють замкнутих кривих. Поле, що задовольняє цій умові називається потенціальним.

Зауваження:

Зв’язок між E і φ: E = -gradφ = -¶ φ/¶ r відповідає загальному виду зв’язку між силою і потенціальною енергією F = -¶ U/¶ r