Деякі формули векторного аналізу.

Знайдемо дивергенцію і ротор радіуса-вектора r, а також градієнт модуля r. Прийнявши до уваги, що r = (Σx²_i)^½,одержемо відповідно (2)

(48)

де е_г — орт радіуса-вектора r. Відповідно до (11)

(49)

(ми використовували той факт, що r_i=x_i). У n - просторі r = n. Легко переконатися в тому, що ротор радіуса-вектора дорівнює нулю:

[r] = 0.(50)

Для цього можна скористатися формулою (22), замінивши в ній a_k через x_k. Тоді одержимо

Цей вираз дорівнює нулю, тому що при однакових значеннях індексів i і k перетворюється в нуль множник e_ikl, а при різних значеннях — перетворюється в нуль множник δ_ік. Співвідношення (50) випливає також з того факту, що циркуляція вектора r по будь-якому контурі дорівнює нулю.

Дійсно, згідно (14)

Під знаком інтеграла стоїть повний диференціал, тому інтеграл дорівнює нулю.

Тепер знайдемо градієнт функції від r, тобто Ñφ(r). Частинна похідна від φ(r) по x_k має вигляд

.

Отже,

Прийнявши до увагу формулу (48), можна написати

(51)

Нехай існує функція відстані між двома точками:

,

де

Операцію відшукання градієнта можна застосувати до цієї функції двома способами - можна робити диференціювання або по координатах х_і або по координатах x'_i. Щоб розрізняти ці два градієнти, у першому випадку ми будемо користатися позначенням Ñ, а в другому випадком-позначенням Ñ''. Компоненти градієнта в обох випадках мають вигляд

Очевидно, що похідні ¶R/¶x_i і ¶R/¶x'_i відрізняються тільки знаком. Звідси висновок

(52)

Обчислимо ротор орта e_r =r/r. Представивши r/r як добуток φ = 1/r на а =r, застосуємо формулу (27). У результаті одержимо, що

.

Згідно (51)

.

Тому перший доданок дорівнює нулю. Другий доданок дорівнює нулю відповідно до (50). Таким чином,

(53)

Тепер знайдемо ротор функції φ(r)e_r, де φ(r) - похідна функція від r. Застосуємо знову формули (27) і (51).

(див. (53)). Отже,

(54)

Нехай нам дана векторна функція а скалярної величини ξ, що у свою чергу є функцією координат х_і:ξ = ξ(x_i).

Знайдемо ротор і дивергенцію цієї функції. За правилами диференціювання складної функції

(55)

Згідно (22)

Величина ¶ a_k /¶ ξ, є k-a компонента вектора ¶ a/¶ ξ, а ¶ξ / ¶x_i 1-a компонента градієнта функції ξ. Отже,

(ми скористалися формулою (29)). Отже, якщо a=a(ξ), де ξ=ξ(x₁, x₂, x₃) то

(56)

Для знаходження дивергенції функції a(ξ) будемо виходити з формули (11). Врахувавши (55), одержимо

(57)

Поклавши у формулах (56) і (57) ξ= r (r — модуль радіуса-вектора), одержимо, що

(58)

(59)

(див. (48)).

Доведемо формулу

(60)

де а — деяка векторна функція, V — довільний об’єм, f — обмежуюча його поверхня, n — зовнішня нормаль до елемента поверхні df. Для цього помножимо скалярно вектор [Ña] на довільний постійний вектор b. З формули Ñ [ab] = b[Ña]— a[Ñb] (див.( 28)) випливає, що b[Ña] =Ñ [ab] + a[Ñb] = Ñ [ab] ([Ñb] = 0, тому що b= const). Тепер проiнтегруємо отримане співвідношення по деякому об’ємі V і застосуємо до правої частини теорему Остроградського — Гауса:

Виконавши в останньому інтегралі циклічну перестановку векторів, що перемножуються, (див. (3)), одержимо

Винесемо постійний вектор b за знак інтеграла:

Отримане співвідношення повинне виконуватися при довільному виборі вектора b. Тому на b можна скоротити. У результаті ми прийдемо до формули (60).

Підсумок

1. Ñ=∂/∂x·i+∂/∂y·j+∂/∂z·k

2. ÑU(x.,y,z)=gradU=∂U/∂x·i+∂U/∂y·j+∂U/∂y·k

3. (ÑA(x,y,z))=divA=∂A_x/∂x+∂A_y/∂y+∂A_z/∂z

4. 

5. ÑÑU=ѲU=ΔU=∂²U/∂x²+∂²U/∂y²+∂²U/∂z², Δ=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²

6. Ñ[ÑA]=divrotA=0

7. [Ñ[ÑA]]=rotrotA=graddivA-ѲA

8. Потік вектора A:

9. Теорема Гауса:

10. Циркуляція вектора:

11. Теорема Стокса:

12. Теорема Гріна І. Використаємо означення:

Покладемо: A=Ψgradφ=ΨÑφ, де Ψ, φ—скалярні функції; оскільки:

1. diva=div(Ψgradφ)=Ñ(ΨÑφ)=Ψ(ÑÑφ)+(ÑΨ)( Ñφ)

2. A_n=Ψgrad_nφ=Ψ·∂φ/∂n

Таким чином, одержимо:

(*)

13. Теорема Гріна ІІ: в останньому співвідношенні (*) поміняємо Ψ на φ і навпаки

(2*)

і віднімемо від першого друге:

СФЕРИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ЦИЛІНДРИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ