2. Повна система рівнянь Максвела.

До цього часу виклад електродинаміки носив індуктивний характер: ми крок за кроком узагальнювали емпірично знайдені закономірності і формулювали їх у вигляді окремих законів. Тепер задачу встановлення основних законів електромагнітного поля можна вважати вирішеною і одержані результати можна звести у повну систему рівнянь електромагнітного поля. Якщо система рівнянь правильна і дійсно є повною, то з неї повинні однозначно випливати всі властивості поля – як уже вивчені нами так і не вивчені.

Таким чином система рівнянь являє собою по суті, математичне формулювання основних постулатів класичної електродинаміки, які відіграють в ній ту ж роль, яку в класичній механіці відіграють аксіоми Ньютона. Дальше завдання теорії полягає в тому, щоб розкрити зміст цих рівнянь, у використані їх до окремих питань і в порівнянні наслідків, що з них випливають з дослідними даними.

Система диференціальних рівнянь класичної електродинаміки називається рівняннями Максвела.

Максвел вперше сформулював ці рівняння в шістдесятих роках позаминулого століття і розкрив їх фізичний зміст, хоча загальноприйняте нині формулювання належить Герцу.

До основних рівнянь Максвела належить перш за все рівняння, яке визначає залежність вихору магнітного поля від густини струмів провідності і струмів зміщення:

(1)

і рівняння, що виражає закон індукції електричного поля при зміні магнітного поля:

(2)

До основних рівнянь відносять також:

(3)

(4)

Як правило їх записують у такому порядку:

Записують також відповідну їм інтегральну форму рівнянь:

Систему даних рівнянь доповнюють так звані матеріальні рівняння які характеризують властивості середовища: B=μμ₀Н; D=εε₀E

Також варто знати умови при яких застосовуються дані рівняння:

1. Всі матеріальні тіла, що розглядаються в полі повинні бути нерухомими.

2. Характеристики середовища ε, μ, σ можуть залежати від координат, але не повинні залежати від часу та характеристик полів.

3. В полях, що розглядаються, відсутні постійні магніти та феромагнетики.

Якщо врахувати рух середовища, то система рівнянь не зміниться, лише сюди додаються матеріальні рівняння, які стають залежними від швидкості середовища і значно ускладнюються.

Коли Максвел розвинув свою теорію, член ∂D/∂t з’явився в ній природнім чином. Він назвав його струмом зміщення. Максвел займався електричними полями не лише у вакуумі, але і у твердих тілах , і коли він говорить про струм зміщення, він часто має на увазі рухомі заряди. Дійсно, Максвел вважав сам простір деяким середовищем —“ефіром”, тому струм зміщення завжди протікав у чомусь, навіть при відсутності середовища. Але його математичні рівняння цілком ясні і недвозначні, і відкриття ним струму зміщення є теоретичним відкриттям першочергової важності.

ДОДАТОК

Розглянемо струм зміщення для середовища:

J_зм=∂D/∂t

Вияснимо фізичну природу струму зміщення. Ми показали:

D=ε₀E+P,

тому

j_зм=ε₀∂E/∂t+∂P/∂t

Таким чином, струм зміщення складається з двох частин:

ε₀∂E/∂t—„чистий” струм зміщення (змінне електричне поле). Очевидно, що для вакууму другий доданок =0, оскільки там немає поляризованої речовини: Р=0.

Другий доданок ∂P/∂t називається поляризаційним струмом і пов’язаний із зміною поляризації у змінному електричному полі. При поляризаційному струмі відбувається рух зв’язаних зарядів.

У металах струм зміщення надзвичайно малий, тому і не враховується; в реальних діелектриках і напівпровідниках струми зміщення можуть мати порядок струмів провідності і навіть бути більшими за них по величині.