15.Поверхневі і об’ємні заряди. Зв’язок між векторами е, d і р.

Ми вивчали поле точкових зарядів. Проте реальні заряди розподілені в певних об'ємах або по поверхнях. Тому постає потреба розглядати поле об'ємних і поверхневих зарядів. Прикладом поверхневого розподілу заряду є заряд на поверхні провідника.

Якщо однорідний неполярний діелектрик внести в однорідне електричне поле, вектор напруженостіЕ якого направлений як показано на малюнку, то в молекулах діелектрика відбудеться зміщення позитивних і негативних зарядів. На поверхнях АD і СB, які обмежують діелектрик з’являються поверхневі зв’язані заряди. Виникненням поверхневих зв’язаних зарядів на поверхнях діелектрика, який внесений в електричне поле, характеризується явище поляризації.

Зв’язаними поверхневі заради називаються тому, що вони виникають як результат деформації молекул діелектрика і не можуть бути від них відірвані. Зв’язані заряди не виявляють себе в будь-якому об’ємі діелектрика: сумарний електричний заряд молекул в цьому об’ємі дорівнює нулю. На поверхнях АD і СB зв’язані заряди виявляються нескомпенсованими і створюють власне електричне поле самого діелектрика. Вектор Еі напруженості цього поля направлений всередину об’єму діелектрика в сторону протилежну напряму напруженості зовнішнього електричного поля, яке викликало явище поляризації. Тому результуюче електричне поле в однорідном уізотопному делектрику має напруженість в ε раз меншу, ніж в вакуумі.

Поверхневі заряди, як і «точкові», є насправді об'ємними, проте вони розміщені в шарі, дуже тонкому порівняно з розмірами зарядженої поверхні.

Для обґрунтування співвідношення повернемося до однорідного поля плоского конденсатора. На його пластинах зосереджені вільні заряди з поверхневою густиною

+σ і –σ.

Під впливом поля цих зарядів діелектрик, який вводиться у простір між пластинами, поляризується. Передбачається, що діелектрик однорідний, і має об’єм V, товщину l i його бокові грані S паралельні пластинам і рівні їм по площі; між цими гранями й пластинами може існувати щілина. Позначимо через φ₀ й Е₀, відповідно потенціал й напруженість у будь-якій точці первинного поля, тобто того поля, що існувало між пластинами у вакуумі (до введення діелектрика). При поляризації діелектрика на його гранях з'являються зв’язані заряди: у пластини з негативним зарядом сумарний позитивний заряд молекулярних диполів; у пластини з позитивним зарядом - негативний заряд тих молекулярних диполів, які зібралися біля даної пластини.

У такий спосіб на гранях діелектрика виникають зв’язані заряди з поверхневою

густиною +σ і –σ. Зв’язані заряди викликають у діелектрику додаткове поле φ', Е', лінії якого направлені протилежно, лініям первинного поля. Для результуючого поля маємо:

φ=φ₀+φ'; Е=Е₀+Е'.

В нашому випадку

Е=Е₀-Е'.

Виходячи з визначення вектора Р як дипольного моменту одиниці об’єму поляризованого тіла, ми можемо вважати добуток РV електричним моментом діелектрика. З іншої сторони, цей момент може бути виражений як добуток заряду однієї грані діелектрика σ_зв’язS на його товщину l, тобто PV=σ_зв’язS

Оскільки V=Sl, Р=σ_зв’яз. У даному випадку Р=Р_n, тому

Р_n=σ_зв’яз.

Розглянемо більш загальний випадок. Нехай в однорідному полі знаходиться зрізаний зразок з того ж діелектрика. Площини обох граней S i S’ зв’язані співвідношенням: S=S'cos(P,n)

Загальний зв’язаний заряд на обох гранях чисельно рівний σ_зв’язS=σ'_зв’язS',звідси

σ'_зв’яз/σ_зв’яз=S/S'=cos(P,n); σ'_зв’яз=σ_зв’язcos(P,n)

Але згідно σ_зв’яз=P, тому в загальному випадку

σ'_зв’яз=Рcos(P,n)=Рn

Звернемося до визначеня вектора поляризації

Р=∑р=Np=Nql,

де q – заряд диполя одного знаку; звідси

l=P/Nq

Відповідно, загальний позитивний заряд розсіченихх диполів дорівнює:

dQ=NqldScos(l,n)=Pcos(P,n)dS=PndS=Pxdydz.

Така величина позитивного заряду, яка попала через другу грань в паралелепіпед.-Величину РndS можна трактувати і як поверхневий позитивний заряд, що з'явився на внутрішній стороні грані.

Нормальна складова вектора поляризації на переднії грані дорівнює: Рх+∂Px/∂x; диполі які прилягають до неї таким чином, що всередині паралелепіпеда розташовані їх негативні заряди. Позитивні заряди диполів, які опинилися з зовнішньої сторони градіи, дають сумарний заряд:

DQ=(Px+∂Px/∂x)dydx

У підсумку зміщеня зарядів через грані 1 і 2 під дією зовнішнього поля відбувається збільшення позитивного заряду в паралелепіпеді, рівне різниці виразів:

Pxdydz-(Px+∂Px/∂xdx)dydz=–∂Px/∂xdxdydz=–∂Px/∂xdV

Аналогічно одержуємо вираз для приросту позитивного заряду при зміщені зарядів через інші дві пари граней; повний позитивний зв’язаний заряд σзв’язdV, який входить у паралелепіпед при поляризації, визначається виразом

–(∂Px/∂x+∂Py/∂y+∂Pz/∂z)dV=σ_зв’язdV

звідки безпосередньо випливає:

divP= –ρ_зв’яз

Останній вираз дозволяє визначити умову, при якому з'являються зв’язані зарядиі. Перетворимо divP:

divP=divαε0E=αε₀divE+ε₀Egradα

Отже, divP і ρ_зв’яз можуть бути відмінні від нуля лише тоді, коли або діелектрик неоднорідний (gradα≠0), або divE≠0. Остання нерівність (при α=соnst) означає наявність вільних зарядів (виключених нами з розгляду). Отже, об’ємні зв’язані заряди «з'являються» лише в неодно-родних діелектриках.

Явище поляризації можна врахувати у диференціальному рівнянні для напруженості електричного поля Е двома способами: або формальним введенням у формулу дивергенції відносної проникності ε і врахуванням одних тільки вільних зарядів:

divE=ρ/εε₀,

або введенням об’ємної щільності зв’язаних зарядів:

divE=ρ+ρзв’яз/ε₀.

Підставляючи в останній вираз формулу для дивергенції векторів D i Р, ми приходимо до важливого рівняння зв'язку між векторами поля:

divε₀E=divD-divP,

чи, перейшовши від рівності дивергенції до рівності векторів:

ε₀E=D-P, або D=ε₀E+P.

Враховуючи, що P=αε₀E можна переписати:

D=ε₀E+αε₀E=ε₀(1+α)E

Співставляючи цей вираз з формулою D=εε₀E, яка дозволяє отримати зв’язок між відносною проникністю діелектрика і його сприйнятливістю.

ε=1+α