4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі

Для простоти будемо розглядати монохроматичні плоскі хвилі, а результати, які ми одержимо, будемо вважати справедливими для будь-яких плоских хвиль. Ми знаємо, що в однорідному ізотропному непровідному середовищі вектори Е і Н змінюються в відповідності з хвильовими рівняннями (7) . Якщо представити просторово-часову зміну векторів E і H в вигляді плоских хвиль

,(1)

то ці вирази, безумовно, задовільняють відповідні рівняння . Однак, щоб вони задовільняли рівняння Максвела, на них слід накласти ще додаткові умови.

1.

Плоскі електромагнітні хвилі поперечні

Підставляючи в рівняння Максвела для електромагнітних хвиль, одержимо:

,

Рівність скалярного добутку нулеві означає, що Е^к і Н^к , тобто хвилі поперечні.

2.

Плоскі електромагнітні хвилі взаємно перпендикулярні.

Щоб переконатися в цьому, підставимо вирази (1) в лiві частини рівнянь Максвела і одержимо:

Тоді рівняння мають вигляд

або

(*)

З другого рівняння

або

(**)

Достатньо помножити вирази на Н або на Е, щоб одержати:

(HE) = (1/ωμμ₀)([kE]E) = 0 

ЕН=0(4)

Із отриманих формул випливає, що векториЕ, Н і к взаємно перпендикулярні і утворюють праву трійку векторів в тому порядку, в якому вони написані. Взаємне розміщення цих векторів приведено на малюнку; на малюнку представлений графік плоскої електромагнітної хвилі. Вектор к визначає напрям поширення хвилі.

Вектори Е і Н коливаються в площині перпендикулярній напрямку к. Таким чином, електромагнітна хвиля у вказаних умовах є поперечно-поляризованою (напрям коливань перпендикулярний напряму поширення ). В площині, перпендикулярній напрямку поширення хвилі для напрямку вектора Е (і перпендикулярного до нього вектора Н) ніяких обмежень немає. В силу лінійності рівнянь Максвела, або, що те ж саме, в силу суперпозиції полів, розв’язком є будь-яка сума полів, у яких вектори Е і Н лежать у вказаній площині.

Нагадаємо, що якщо в електромагнітній хвилі вектор Е має єдиний напрям (і, отже єдиний напрям має вектор Н), то хвиля називається лінійно-поляризованою. Нижче будуть приведені доведення того, що світло являє собою електромагнітні хвилі, частоти яких лежать у визначеному інтервалі. Якщо в світловій хвилі вектор Е (і Н) має все можливі напрямки, то таке світло прийнято називати звичайним. Отже, світло як плоска електромагнітна хвиля може бути в однорідному середовищі як звичайним, так і лінійно-поляризованним.

3.

Енергія електромагнітної хвилі переносить в напрямку поширення хвилі.

Обчислимо вектор Умова-Пойнтінга плоскої електромагнітної хвилі:

Введемо одиничний вектор m в напрямку поширення хвилі (n=k/k). Оскільки v=ω/k , k=ω/v=ω/c(εμ)^½, то

або

Знайдемо співвідношення між абсолютними значеннями векторів E і Н в плоскій хвилі. Із рівнянь (*) і (**) маємо:

.

Знаючи, що k=ω/v=ω(εε₀μμ₀)^½ одержимо:

,

Враховуючи, що вектори n, E, H взаємно перпендикулярні, знаходимо співвідношення між абсолютними значеннями векторів E і H:

Із загального визначення густини електромагнітної енергії:

з урахуванням рівняння (.9) для плоскої хвилі одержимо:

Запишемо тепер кінцеве рівняння для вектора Умова — Пойнтінга в плоскій хвилі:

Одержана рівність означає , що через одиничну площадку, поставлену перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу проходить енергія, обмежена циліндром з одиничною площею основи, і висотою v. Ця енергія дорівнює 1·v·ω, тобто значенню вектора Умова—Пойтінга (12).