3.Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.
Система рівнянь Максвела повністю описує електромагнітне поле за відомим розподілом зарядів і струмів. Електромагнітне поле в кожній точці простору і в кожний момент часу однозначно визначається цією системою, якщо тільки для моменту t=0 задані початкові значення векторів Е, Н в усіх точках простору.
Оскільки рівняння однозначні, то ми повинні знайти спосіб фактичного розв’язку цих рівнянь. У випадку стаціонарного ЕМП ця задача істотно полегшується введенням допоміжних величин - потенціалів φ, А . Тепер ми покажемо, що видозмінюючи певним чином визначення скалярного та векторного потенціалів, можна скористатися цими потенціалами для розв’язування рівнянь Максвела і в загальному випадку змінного поля.
Для визначення векторного потенціалу використаємо рівняння:
В=rot A(1)
де A=A(x,y,z) - допоміжна функція.
Звідси слідує:
div B=div rot A=0, тобтоdiv B=0 (2)
Якщо записати
і підставити (1) то
тому, що ∂/∂t i rot- не залежні операції (діють на різні змінні).
(3)
Таким чином вектор у дужках не має вихорів, але може мати джерела. Це рівняння буде виконуватися якщо покласти
Звідси
(4)
Отже, електричне поле породжується як електричними зарядами так і змінним магнітним полем.
Напруженість поля є мірою спаду потенціалу тому у формулі “мінус”. В загальному випадку електричне поле складається з вихрової та потенціальної частини, де φ - довільний скаляр тому, що ротор градієнта скалярної функції тотожно дорівнює нулю.
Виникає запитання: наскільки однозначно визначені величини, що входять у формулу (4).
З рівняння (1) можна сказати, що векторний потенціал заданий з точністю до градієнта деякої скалярної функції. Тобто:
(5)
Дійсно
Отже В=В'
З рівняння (4) слідує, що
(6)
Перевіримо
Отже Е'=Е тобто потенціали визначені неоднозначно, але задають одні і ті ж поля.
Той факт, що вони неоднозначні, дає можливість накладати на них додаткові умови, тобто калібрувати потенціал.
Вигляд калібровки вибирається так, щоб рівняння поля, записані через потенціали мали найпростіший вигляд.
Запишемо рівняння поля через потенціали.
Розглянемо одне з рівнянь системи Максвела :
перепишемо його, підставляючи відомі вирази величин, що входять в рівняння:
Як відомо rotrotA=graddivA-Ñ2A , тому отримаємо, підставивши:
або
Для спрощення рівняння виберемо умову калібровки так:
(7)
Рівняння (7) називається калібровкою Лоренца. Дана калібровка приводить до вже використовуваного результату div A=0 для стаціонарних полів.
Тепер наше рівняння набере вигляду:
(8)
Дане рівняння називається рівнянням Даламбера для A, його розв’язки відомі з математичної фізики.
Розглянемо інше рівняння із системи рівнянь Максвелла: div D=ρ
або
перепишемо його, використовуючи калібровку Лоренца:
З калібровки Лоренца знайдемо
і підставивши у рівняння вище отримаємо:
(9)
Ми отримали рівняння Даламбера для φ. Рівняння (8) і (9) еквівалентні системі рівнянь Максвела. Хоча ці рівняння є диференціальними рівняннями другого порядку, але розв’язати їх легше ніж систему рівнянь Максвела.
Рівняння (7) (8) (9) дають можливість визначити значення скалярного потенціалу і векторного потенціалу електромагнітного поля за даним розподілом зарядів і струмів провідності; знаючи їх можна знайти значення напруженостей магнітних і електричних полів. Зауважимо, що хоча скалярний потенціал, як і у випадку стаціонарних полів, залежить лише від розподілу зарядів, а векторний – від розподілу струмів провідності, однак напруженість електричного поля залежить не лише від градієнта скалярного потенціалу; в цій області проявляється закон електромагнітної індукції.
Ввівши оператор Даламберa □=2 - εε0μμ0·∂2/∂t2 =2 - (1/v2)∂2/∂t2, де v- швидкість світла у середовищі; рівняння можна записати у вигляді:
□A=-μμ0 j(10)
□φ= - ρ/εε0(11)
У випадку стаціонарних полів (∂φ/∂t=0; ∂A/∂t=0) рівняння Даламбера вироджуються в рівняння Пуассона:
(12)
(13)
їх розв’язками в однорідному необмеженому просторі є інтегральні вирази. Так само і для рівнянь Даламбера:
(14)
(15)
де
де t'- описує час запізнення.