5.Скалярний потенціал.

Визначення:

різниця потенціалів між двома точками електростатичного поля дорівнює взятій з протилежним знаком роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду.

Таким чином , різниця потенціалів ¶ φ між двома нескінчено близькими точками, розділеними віддалю d l, дорівнює:

(11)

(12)

Причому, цей інтеграл може бути взятий по довільному шляху, який з’єднує точки P і P₀.

Якщо зафіксувати значення потенціалу в деякій одній точці поля, значення його в усіх інших точках поля однозначно визначається рівнянням (12).

Як правило, адитивну постійну у виразі потенціалу вибирають так, щоб потенціал φ_¥ нескінченно віддалених точок дорівнював 0, тобто φ_¥ = 0.

При цьому потенціал φ довільної точки поля P визначається таким виразом:

(13)

Таким чином, потенціал точки P буде дорівнювати роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки P в нескінченість.

Рівноцінне визначення:

Потенціал поля в даній точці чисельно рівний роботі зовнішніх сил проти поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченості в цю точку. Очевидно, що робота зовнішніх сил при переміщенні заряду з нескінченості в дану точку поля переходить в його потенціальну енергію, -A_¥ = W.

Значить φ = W/q Þ потенціал поля в даній точці чисельно дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Якщо в точці з потенціалом φ знаходиться заряд q, то він має потенціальну енергію

W = qφ.

Тому

У полі елементарного (точкового) заряду різниця потенціалів між точками P і P₀ згідно (7) дорівнює:

(14)

У цьому випадку, для того, щоб виконувалася умова φ_¥ = 0 , достатньо , очевидно, покласти φ₀ = k(q/R₀); тоді потенціал поля точкового заряду q на віддалі R від нього буде дорівнювати

; (15)

Потенціал поля довільної системи точкових зарядів дорівнює сумі потенціалів полів кожного з цих зарядів зокрема.

де R_i- віддаль точки поля, яка має потенціал φ, від заряду q_i.

(16)

Остання умова—це принцип суперпозиції, поширений на поняття потенціалу.

При наявності поверхневих зарядів заряд кожної поверхні може бути розкладений на сукупність елементарних зарядів нескінченно малих елементів поверхні dS:

dq = σ dS (17)

В цьому випадку формула (16) перепишеться

(18)

В полі об’ємних зарядів одержимо

(19)

В абсолютній системі одиниць потенціал визначається так: різниця потенціалів двох точок поля дорівнює одиниці, якщо при переміщенні одиничного позитивного заряду з однієї точки поля в іншу , сили виконують роботу , що дорівнює одному ергу.

Ця одиниця потенціалу велика порівняно з тими, з якими приходиться мати справу на практиці, тому практичною одиницею потенціалу служить 1В.

абсолютна одиниця потенціалу.

6.Рівняння Пуассона і Лапласа

Теорема Остроградського – Гауса у формі

(1)

пов’язує значення електричної напруженості в точках деякої замкнутої поверхні з величиною заряду, який знаходиться в середині об’єму , який обмежений цією поверхнею, тобто пов’язує величини, які відносяться до різних точок поля. Можна , однак, надати цій теоремі таку форму, щоб в неї входили величини, які відносяться до однієї і тієї ж точки поля.

Будемо вважати, що заряди рівномірно розподілені по деякому об’єму V з густиною ρ.

Об’ємна густина визначається співвідношенням:

у випадку , якщо заряд розміщений по об’єму ΔV нерівномірно. Для рівномірного розподілу справедливе співвідношення: ρ = q/V. Праву частину рівності (1) можна записати у вигляді інтегралу

(2)

Перетворимо ліву частину згідно теореми Гауса

(3)

Підставимо (3) в (2), одержимо

(4)

Оскільки V- об’єм довільний, тому правильна рівність

(5)

Формула (5) описує рівняння Гауса у диференціальній формі.

Оскільки не завжди зручно використовувати компоненти вектора напруженості

(E_x, E_y, E_z), то використовують формулу, яка поєднує напруженість E з потенціалом φ); тому

(6)

або, згідно правил векторного аналізу,

Таким чином,

Ѳφ=- ρ/ε₀(7)

Це диференціальне рівняння носить назву рівняння Пуассона. В тих ділянках поля , в яких немає електричних зарядів, це рівняння перетворюється в нуль (ρ = 0):

(8)

Цей частинний вид рівняння Пуассона називається рівнянням Лапласа.

Величину Ѳφ іноді позначають через Δφ і називають лапласіаном скаляра φ.

Рівняння Пуассона дає можливість визначити потенціал поля об’ємних зарядів, якщо відоме розміщення цих зарядів. Розв’язок (інтеграл) цього диференціального рівняння ( при певних граничних умовах) повинен, очевидно, співпадати з виведеною нами раніше формулою

(9)

Наразі відмітимо, що для розв’язку деяких задач зручніше виходити не з інтегралу (9), а безпосередньо з диференціального рівняння (7)

Самі функції, які задовольняють рівнянням Лапласа, називаються гармонічними функціями .

Одна з властивостей гармонічних функцій: якщо функції φ(x, y, z) задовольняють рівняння Лапласа, то середнє значення φ по поверхні будь – якої сфери ( не обов’язково невеликої) дорівнює значенню φ в центрі сфери.

2.Вважаючи Ñ - вектором, одержимо, що його квадрат

співпадає з визначенням для лапласіана в декартових координатах. Тому лапласіан часто називають “ набла в квадраті” і ми говоримо “набла квадрат”

розуміючи “divgradφ”.

Зауваження: в інших системах координат , наприклад в сферичних (полярних) координатах визначення градієнта і визначення Лапласа не пов’язані між собою. Необхідно пам’ятати, що ґрунтовне визначення оператора Лапласа полягає в тому, що він є дивергенцією градієнта…)

Додаток

Зміна напруженості поля при переході через заряджену поверхню

Доведемо, що поверхневий заряд зумовлює стрибок напруженості в точках зарядженої поверхні.

Нехай S-заряджена поверхня, σ—поверхнева густина заряду. Позначимо через n одиничний вектор нормалі, проведений з довільної точки зарядженої поверхні S в одному певному з двох можливих напрямів. Виділимо на поверхні S елемент △S настільки малий, щоб його можна було вважати плоским і рівномірно зарядженим, і побудуємо на цьому елементі циліндр, висота якого

△h. Нехай M₂—точка основи циліндра, яка міститься з того самого боку від поверхні S, що й нормаль n, а М₁ — точка на протилежній основі циліндра (з іншого боку S). Одиничні нормалі, напрямлені назовні від циліндра, позначимо через n₂ i n₁ (мал. 3).

Потік напруженості Е через замкнену поверхню циліндра, згідно теореми Гауса, дорівнюватиме:

(1)

тому що всередині циліндра міститься заряд Δe = σΔS. Ліву частину рівності (1) подамо як алгебраїчну суму трьох доданків: двох, що характеризують потоки напруженості через дві основи циліндра, і ще одного, що характеризує потік напруженості через бічну поверхню циліндра. Оскільки висоту циліндра △h можна взяти якою завгодно малою при фіксованому △S, то при граничному переході, коли△h→0, потік через бічну поверхню зникатиме. Через це рівність (5.1) набирає вигляду:

E_2n1ΔS+E_1n1ΔS = 1/ε₀∙σΔS

або

(2)

Тут Е₁ і Е₂ — вектори напруженості поля в точках М₁ і М₂, а , E_1n1 i E_2n2—проекції цих векторів на напрями n₁ i n₂ відповідно. Враховуючи, що в кожній точці поверхні S напрям n₂, однаковий з напрямом n, а напрям n₁ протилежний до n, матимемо: ,;

тоді рівність (2) можна записати так:

(3)

Складова напруженості поля Е в напрямі нормалі до зарядженої поверхні має в точках цієї поверхні розрив неперервності і змінюється стрибком на величину, що дорівнює поверхневій густині заряду, поділеній на електричну сталу.