3. Енергія магнітного поля.

( Енергія магнітного поля ізольованого контуру зі струмом. )

Для того, щоб в нерухомому контурі створити електричний струм, необхідно включити в коло джерело Е.Р.С. Якщо в колі I=const, то енергія, що надходить від джерела сторонніх Е.Р.С., витрачається на виділення джоулевого тепла і на здійснення роботи в споживачі енергії. Індукція магнітного поля B, як і його енергія при цьому не змінні. Індукція магнітного поля B змінюється при зміні струму І. Отже, джерело сторонніх Е.Р.С. передає в коло енергію на створення магнітного поля в процесі збільшення струму І. Обчисливши роботу, яку здійснює джерело сторонніх Е.Р.С. для збільшення сили струму від І=0 до I=I_max, одержимо енергію магнітного поля, яка пов’язана з цим струмом.

При змінні магнітного потоку Ф, в контурі виникає Е.Р.С. індукції:

В ізольованому контурі потік Ф виникає за рахунок магнітного поля, який створюється струмом в контурі.

При збільшенні струму І зростає потік Ф і в контурі виникає Е.Р.С. Самоіндукції.

В процесі зростання сили струму джерело сторонніх Е.Р.С. здійснює роботу проти Е.Р.С. самоіндукції.

За час dt по контуру проходить кількість електрики dq=Idt ,значить, проти Е.Р.С. самоіндукції джерело сторонніх сил за час dt виконує роботу

(1)

При здійснені цієї роботи відбувається перетворення енергії джерела сторонніх Е.Р.С. в енергію магнітного поля струму в контурі. Тому зміна енергії магнітного поля пов’язана із зміною потоку співвідношенням

dW=IdΦ (2)

Оскільки контур нерухомий (і не деформований), то L=const, тому

Φ=LI → dФ =LdI (3)

L- індуктивність контуру.

Підставимо (3) в (2):

(4)

(5)

(5)- виражає енергію магнітного поля, яка створюється струмом І, який протікає по контуру з індуктивністю L.

2*.Енергія магнітного поля (строге доведення).

Спочатку визначимо роботу, яку здійснюють пондеромоторні сили магнітного поляH при довільному переміщенні контуру струму І.

Нехай кожен елемент струму dl контуру L здійснює деяке мале переміщення d, при чому сила струму І при цьому залишається незмінною. Робота, яка здійснюється при цьому переміщенні:

Загальна робота, δA, пов’язана переміщенням всіх елементів контуру струму, буде дорівнювати:

але

,

де δS - елемент площі, описаний елементом контуру dl при його переміщенні d, при чому порядок співмножників dl і d вибраний так, що напрям вектора δS (тобто, напрям додатної нормалі n до елемента δS ) утворює з напрямом струму в контурі L' правогвинтову систему.

(1)

де інтегрування поширюється на всі елементи δS поверхні ∆, яка описана контуром струму L при переміщенні його точок на віддаль d в положення L'.

Позначимо через Ф потік магнітного вектора, магнітний потік, через контур L (тобто через довільну поверхню S, яка спирається на цей контур):

(2)

де n- додатна нормаль до S, яка утворює з напрямом струму правогвинтову систему. Оскільки B=rotA то:

(3)

Використовуючи (2), можна записати:

Оскільки зміна магнітного потоку через контур зі струмом дорівнює, очевидно, магнітному потоку через поверхню ∆, описану контуром при його переміщенні. Звідси:

δA=IδΦ (4)

Таким чином, робота пондеромоторних сил магнітного поля при довільному переміщенні струму дорівнює помноженому на І змінні магнітного потоку через контур цього струму.

Зокрема, такі переміщення струму, при яких величина магнітного потоку через його контур не міняється, не зв’язані з виконанням роботи.

Якщо ввести позначення:

U=-IΦ (5)

то рівняння (4) набере вигляду:

δA=-(δU)_I, (6)

де індекс І при δU означає, що при визначенні приросту функції U силу струмів треба вважати постійною.

Таким чином робота пондеромоторних сил магнітного поля дорівнює зменшенню функції U, яка, таким чином, відіграє роль потенціальної або силової функції струму в магнітному полі.

Ці властивості потенціальної функції U можуть спонукати ототожнювати її з потенціальною енергією магнітного поля. Однак, таке твердження було б необґрунтованим, оскільки переміщення провідника в магнітному полі супроводжується не лише роботою пондеромоторних сил цього поля, але також і роботою електрорушійних сил, індукованих полем у рухомому провіднику.

Тому, якщо ми і будемо для зручності виразу називати U потенціальною “енергією”, то лише в тому розумінні, що пондеромоторні сили магнітного поля пов’язані з U такою ж залежністю, з якою сили консервативного поля сил зв’язані з потенціальною енергією цього поля.

Формули, отриманні нами для лінійних струмів, легко узагальнити на випадок струмів об’ємних, тобто на той випадок, коли не можна знехтувати зміною напруженості магнітного поля на протязі перерізу струму. Для цього (3) внесемо в (5):

(7),

а потому виконаємо в одержаному рівнянні перехід до об’ємних струмів:

(8)

Це і є шуканим рівнянням формули (5).

Два останніх рівняння можна трактувати в тому розумінні, що кожний елемент струму Idl (або jdV) має в магнітному полі потенціальну “енергію” -IAdl (або -AjdV) і що потенціальна функція U замкнутого струму дорівнює сумі “енергій” окремих його елементів.

Якщо тепер розглянути взаємодію двох замкнутих лінійних струмів I₁ та I₂, які обтікають контури L₁ та L₂, то величина U₁₂, яка відіграє роль взаємної потенціальної енергії струмів I₁ та I₂, як було показано раніше, дорівнює:

U₁₂=-I₂Φ₁₂=-I₁Φ₂₁(9)

де:Φ₁₂=L₁₂I₁.

Якщо ж струми I₁ та I₂ не можна вважати лінійними, то взаємну потенціальну “енергію” струмів U можна визначити, виходячи з рівняння (8):

(10)

відповідно „потенціальна енергія” (функція) U₂₁ струму I₁ в полі струму I₂ буде дорівнювати :

(11)

Коли тепер розглянемо пондеромоторні сили взаємодії елементів одного і того ж струму (наприклад струму I₁) , то, очевидно, потенціальна функція U₁₁ цих сил, яку можна назвати власною потенціальною “енергією” I₁, дорівнює :

(12)

Поява множника ½ перед інтегралом пояснюється тим, що взаємодія кожної пари елементів струму j₁dV і j'₁dV' двічі враховується в інтегралі (12).

Враховуючи значення А₁:

U₁₂ запишемо:

(13)

де

(14)

Зауважимо, що цілком аналогічно можна одержати вираз для коефіцієнта взаємної індукції двох струмів I₁ та I₂:

(15)

Якщо ці струми можна вважати лінійними, то:

Повертаючись до випадку системи двох струмів, зауважимо, що потенціальна енергія U цієї системи, очевидно, дорівнює сумі їх взаємних енергій U₁₂ і власних потенціальних енергій U₁₁ та U₂₂.

(16)

враховуючи тепер формули (11) і (12), одержимо:

і Оскільки A₁+A₂=A-вектор-потенціал результуючого поля обох струмів

(17)

Останній інтеграл може бути поширений по об’єму обох струмів I₁ та I₂. Якщо інших струмів в полі немає, то ми можемо поширити інтегрування на об’єм всього поля, Оскільки поза струмами j=0 і відповідні члени інтеграла перетворюються в нуль.

Одержаний нами вираз енергії магнітної взаємодії

(18)

за своєю формою відповідає уявленню про магнітну взаємодію струмів на віддалі. В цьому відношенні він аналогічний виразу енергії нерухомих електричних зарядів

(19)

Дійсно, член L₁₂I₁I₂ , який входить у вираз (18) можна трактувати як енергію магнітної взаємодії струмів I₁ та I₂, а член ½I²₁L₁₁ - як власна енергія струму I₁.

Неважко виразити магнітну енергію струмів у формі інтеграла по всьому об’єму поля цих струмів і тим самим, як і у випадку електричного поля, отримати можливість інтерпретувати енергію W_m в дусі теорії близькодії як енергію поля, а не як енергію взаємодії струмів.

Для цього використаємо формулу (17):

(20)

Оскільки rotH=j ,то

(21)

Використаємо формулу векторного аналізу:

A·rotH-H·rotA=div[HA]

Дійсно

Врахуємо:

внесемо цей вираз під знак інтегралу у формулу (21):

Використаємо теорему Гауса для останнього члена:

(22)

Якщо ми поширимо інтегрування на весь об’єм повного поля струмів (інтегрування по повному простору), то інтеграл по граничній поверхні цього поля перетворюється в нуль і вираз для W набере вигляду:

(23)

З точки зору теорії поля, формула (23) може бути протрактована наступним чином: магнітна енергія локалізована в полі і розділена по його об’єму з густиною w_m, яка дорівнює:

(24)

де B=μμ₀H.