2. Вектор-потенціал магнітного поля.

Одне з основних рівнянь магнітного поля—рівняння (3) можна перетворити до більш зручного вигляду

, (1)

Магнітне поле в точці А:

, (2)

Врахуємо, що

Врахувавши останню рівність, отримаємо:

, (2)*

Використаємо:

Покладемо:

Для постійних струмів лінії постійного струму замкнуті, тому:

, (3)

Отже

, (4)

(4) підставляємо в (2)*

, (5)

Введемо вектор-потенціал магнітного поля:

, (6)

Тому формулу (5) можна переписати:

(7)

У електростатиці( із того, що rot E=0 — поле потенціальне ) завжди можна представити Е у вигляді градієнта від скалярного поля φ, а от rotH не всюди дорівнює нулю, а це значить, що ми можемо представити Н у вигляді ротора від іншого векторного поля, оскільки дивергенція завжди дорівнює нулю.

В загальному випадку rot H ≠ 0—магнітне поле не потенціальне.

Вираз (6) цілком аналогічний до виразу для скалярного потенціалу ЕСП:

Це співвідношення є розв’язком диференціального рівняння Пуассона:

Таким чином вектор А є розв’язком відповідного рівняння Пуассона:

, (8)

Можна показати ( без доведення), що для постійних струмів:

divA = 0

3. Циркуляція напруженості магнітного поля.

1) Розглянемо

(1)

Таким чином

divH=0

Формула (1 ) означає, що магнітне поле не має джерела; лінії магнітного поля замкнуті, тобто магнітних зарядів не існує.

2) Обчислимо іншу величину:

(2)

Таким чином

rotH=j

тут враховано, ( з попереднього параграфа), що div A=0

Магнітне поле вихрове ( вихрове магнітне поле створюється струмом).

Проінтегруємо (2) по поверхні і скористаємося теоремою Стокса:

Теорема про циркуляцію напруженості магнітного поля

Циркуляція напруженості магнітного поля H по контуру L, який обмежує поверхню S, дорівнює сумі всіх струмів, що пронизують дану поверхню.

4. Рівняння Максвела для магнітного поля.

div H=0, (1)

Фізичний зміст: магнітних зарядів не існує.

(1) називається другим рівнянням Максвела.

Щоб знайти інтегральну форму другого рівняння , про інтегруємо це рівняння по довільному об’єму V і перетворимо інтеграл на підставі формули Гауса:

, (1)*

Отже, потік вектора напруженості магнітного поля через довільну замкнену поверхню дорівнює нулю.

rot H=j, (2)

Магнітне поле вихрове.

, (2)*

Циркуляція напруженості магнітного поля дорівнює сумі всіх струмів, що проходять через поверхню обмежену цим контуром.

Виходячи з того, що рівняння природи взагалі і рівняння електродинаміки зокрема повинні бути симетричними, П. Дірак висунув припущення, що в природі повинні існувати магнітні заряди

( монополі Дірака). Пошуки цих зарядів не дали яких не будь результатів, так що питання про існування монополів Дірка залишається відкритим.

На відміну від електростатичного поля, не існує таких точкових джерел, які б породжували сферично-симетричні магнітні поля.

5.Магнітне поле струмів в однорідних магнетиках. Вектор в.

Розглянемо магнітне поле постійних струмів, які, як відомо, завжди є замкнутими.

Згадаємо відомі з курсу загальної фізики основні положення про магнітне поле замкнутого лінійного струму: його магнітні властивості характеризуються магнітним моментом p_m:

P_m=ISn, (1)

де I – лінійний струм плоского контуру, S – площа, обмежена контуром, n - одиничний вектор нормалі до центру цієї площі; напрям n пов’язаний із напрямом струму правилом свердлика.

(рис. 1).

Ампер вперше зробив геніальне припущення, що носіями магнітних властивостей речовини є струми всередині молекул. Із сучасної точки зору елементарними носіями магнітних властивостей речовини є орбітальний та спіновий (або власний) магнітні моменти електрона в середині атома

p_ma=p_ml+p_ms(2)

є геометричною сумою магнітних моментів всіх електронів атома (якщо не враховувати набагато меншого магнітного моменту ядра).

Струм, який співставляється результуючому магнітному моменту атома (або молекули), і є амперовим молекулярним струмом. У шкільних підручниках з фізики ці молекулярні струми завжди зображаються у вигляді “кілець”, площини яких орієнтуються перпендикулярно до поля.

Магнітне поле, зумовлене магнітним моментом на відстанях r, що набагато перевищує лінійні розміри контуру, може бути знайдене так, як поле електричного диполя.

Від магнітного моменту замкнутого струму (як макро-, так і мікроскопічного) залежить і момент сили, який діє на магнітний момент у внутрішньому магнітному полі; відповідний вираз для моменту сили

M=p_mμ₀H(3)

аналогічно до виразу для моменту сил, які діють на електричний дипольний момент у внутрішньому електричному полі. За аналогією з електростатикою можна лише записати енергію магнітного моменту у зовнішньому однорідному полі.

Нехай в полі струму, який, наприклад, протікає через соленоїд, внесений магнетик. Під дією поля відбувається його намагнічування, механізм якого міститься в орієнтації мікроскопічних магнітних моментів у напрямку поля. Магнітний стан речовини прийнято характеризувати вектором намагніченості – геометричною сумою магнітних моментів атомів (або молекул), що знаходяться в одиниці об’єму:

J=Σ p_ma, (4)

де J - магнітний аналог вектора поляризації P.

Як відомо, напруженість поля струмів H не змінюється, якщо все поле заповнити будь-яким однорідним магнетиком. Це важливе положення отримало свій математичний вираз в тому, що у формулу закону Біо-Савара-Лапласа не входить відносна магнітна проникність μ. Це слідує з умови, що поле вектора H зумовлене лише макроскопічними струмами (струмами провідності); при цьому зберігається посилка на те, що магнітне поле локалізоване у вакуумі або в однорідному магнетику.

Випадок однорідного магнетика, який заповнює все поле струму провідності, легко здійснюється з допомогою тора, на якому є щільна обмотка зі струмом (рис. 2); в цьому випадку формула напруженості поля соленоїдаH=In/l (де l – середня довжина тора) є точною. Поле тороїда практично однорідне і локалізоване в скінченому об’ємі тора (якщо не враховувати невеликих магнітних потоків, які виходять із тора в навколишнє середовище). Це поле зумовлене, як вже зазначалось, макроскопічними струмами в провідниках обмотки. На поле H₀ цих струмів (первинне поле) при наявності серцевини накладається додаткове (вторинне) поле H' впорядкованих молекулярних струмів.

Зв’язок між векторами B, H₀ і H':

H₀+H'=B/μ₀, (5)

B=μμ₀H₀, (6)

у вакуумі

B=μ₀H₀

(надалі індекс біля H₀ буде опущений, оскільки під величиною H мається на увазі поле макроскопічних струмів). Тут, як вже вказувалось раніше, μ₀=4π·10^-7 Гн/м (генрі на метр), μ – відносна магнітна проникність (безрозмірна величина), B вимірюється в теслах (Тл), H – в амперах на метр (А/м). В точці, де H=1 А/м, індукція B дорівнює

μμ₀ Тл.

Отже, поле вектора H зумовлене струмами провідності, які характеризуються об’ємною густиною j і поверхневою густиною i, поле вектора H' - струмами зв’язаних зарядів у атомах і молекулах (“молекулярними струмами”), які характеризуються об’ємною густиною j_мол і поверхневою густиною і_мол, а поле вектора В - і тими й іншими.

В курсі фізики середньої школи при дослідженні магнітного поля в якості пробного тіла використовують елементарну малу прямокутну рамку, по якій протікає постійний струм. З характеристик магнітного поля вводиться лише вектор магнітної індукції В. Перевага, яка віддається рамці, досить виправдана: рамка є моделлю якоря (ротора) як у генераторі, так і в електродвигуні.

Виведемо вираз для максимального обертального моменту, який діє на рамку зі струмом І в однорідному магнітному полі з індукцією В.

Рис.3

Момент діючих на рамку сил намагається повернути її так, щоб рамка розташувалась перпендикулярно до напрямку вектора В, тому момент буде максимальним, коли потік через рамку дорівнює нулю (рис. 3). Позначення сторін рамки вказані на малюнку. Сила Ампера, яка діє на кожну з двох сторін рамки довжиною l в положенні, зображеному на малюнку, чисельно дорівнює: F=IlB. Звідси для обертового моменту (максимального) отримуємо:

M_max=Fd=IlBd=BIS,

де S – площа рамки.

В курсі фізики середньої школи ця формула використовується для визначення індукції B та її одиниці – тесла (Тл):

B=M_max /IS. (7)

Назва добутку IS=p_m m – магнітного моменту рамки – в шкільному курсі не вводиться.