Тема VI Змінне електорамагнітне поле

1. Струми зміщення.

2. Повна система рівняння Максвелла.

3. Загальний розв’язок рівнянь Максвела за допомогою скалярного та векторного потенціалів.

4. Густина енергії та густина потоку енергії електромагнітного поля. Теорема і вектор Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля.

1.Струми зміщення.

В основу теорії постійного магнітного поля покладено закони Біо-Савара-Лапласа і Ампера: перший з них визначає магнітне поле елемента струму, а другий – дію довільного магнітного поля на елемент струму. Аналогічно можна було б вважати, що в основі електричного поля лежать два закони, перший з яких визначає електростатичне поле точкового заряду, а другий – дію довільного електростатичного поля на точковий заряд.

У цьому розділі ми сформулюємо закони електромагнітного поля і відповідні рівняння. При цьому встановимо систему основних рівнянь для електромагнітного поля.

Випишемо виведені нами формули:

1.Теорема Остроградського-Гауса

або

(1)

2.Рівняння неперервності

(2)

3.Теорема про циркуляцію напруженості магнітного поля

або

(3)

4. Закон електромагнітної індукції Фарадея

(4)

5. Теорема про магнітний потік

(5)

До Максвела виникнення магнітного поля у просторі пов’язували тільки з протіканням струмів провідності або з наявністю постійних магнітів. Максвел відкрив ще й інші фізичні причини збудження магнітного поля. Такими додатковими причинами для змінних полів, як виявилося, можуть бути:

1. зміна з часом електричного поля;

2. зміна стану поляризації середовища.

Звичайно, рівняння поля повинні охоплювати всі фізичні причини його виникнення. Але рівняння (3) не задовольняє цієї вимоги, бо воно описує магнітне поле створене лише струмами провідності.

Покажемо, що при ∂ρ/∂t ≠0 рівняння (2) несумісне з рівнянням (3).

Візьмемо div від рівнянні (3) і порівняємо із його значенням в рівнянні (2):

,

а з (2)

Як бачимо ці два рівняння не сумісні.

Але ж рівняння (3) незастосовне до змінних струмів тому, що сила незамкнутих струмів, які протікають через поверхню , яка спирається на контур L істотно залежить не лише від контуру, але і від форми та розміщення поверхні S. Зокрема, у випадку незамкнутих струмів можна провести поверхню так, щоб вона взагалі не перетинала струмів

(на малюнку зображено коло змінного струму, яке включає в себе конденсатор).

У цьому випадку

але

тому що існує змінне електричне поле і струм проходить через конденсатор.

Максвел припустив, що існують струми зміщення, які дозамикають лінії струму.

Густина повного струму j_n буде дорівнювати сумі густин струму провідності j і струму зміщення j_зм.

(6)

Новий член необхідний для того, щоб вираз, який зв’язує струм і магнітне поле , був сумісний з рівнянням неперервності в тому випадку, коли струми провідності змінні в часі.

Припустимо тепер, що істинна залежність вектора H від j відрізняється від (3) лише в тому відношенні, що rot H пропорційний не j, а густині повного струму j_n:

(7)

Іншими словами, припустимо, що в магнітному відношенні струми зміщення еквівалентні струмам провідності ,точно так збуджують магнітне поле, за тими ж законами, що і струми провідності.

Візьмемо div від обох частин рівності (7):

(8)

ми отримали, що лінії повного струму не можуть ніде починатися і ніде закінчуватися; повинні або бути замкнутими або іти в нескінченність. Тобто там, де обриваються лінії струму провідності, до цих ліній повинні безпосередньо примикати продовжуючі їх лінії струму зміщення.

Вважаємо, що рівняння неперервності справедливі. Тоді з рівності (8) та з (2) слідує:

З рівняння (1):

Тому

(9)

або

де D=ε₀ E+P

Це самий простий, хоча не єдиний, спосіб задовольнити рівність(9). Ми отримали, що густина струму зміщення в кожній точці поля пропорційна швидкості зміни індукції поля.

Згідно цього означення, струм зміщення може мати місце не лише в провідниках, але і в діелектриках і навіть у вакуумі, але в стаціонарному полі цей струм завжди дорівнює нулю. Рівняння (7) набере вигляду:

(10)

Вихрове магнітне поле створюється струмами провідності і струмами зміщення.

Таким чином вводячи чисто формальним чином гіпотезу про існування струмів зміщення, ми можемо усунути протиріччя між рівняннями (2) і (3) не вносячи при цьому ніяких змін в закони стаціонарного електричного поля.

Щоб вияснити фізичний зміст рівнянь (9) та (10) розглянемо випадок, коли повний струм зводиться до струму зміщення, тобто тоді j = 0 (непровідне середовище, діелектрик). В цьому випадку

(11)

це рівняння аналогічне до рівняння (4):

З рівняння слідує, що подібно до того, як електричне поле може збуджуватися не лише електричними зарядами, але і змінним магнітним полем, так в свою чергу магнітне поле може збуджуватися не лише рухом зарядів (струми провідності), але змінами електричного поля.

Зауважимо, що праві частини рівнянь (11) та (4) мають різні знаки. Ця відмінність обумовлюється тим, що силові лінії магнітного поля H, які збуджуються струмами зміщення складають з напрямом цих струмів правогвинтову систему, тоді як напрями векторів E та ∂H/∂t знаходяться в оберненому співвідношенні.

На закінчення відмітимо, що з сучасної точки зору струми провідності з одного боку і струми зміщення у вакуумі, з другого, не дивлячись на подібність назв, являють собою по суті цілком різні фізичні поняття. Єдина їх спільна характеристика полягає в тому, що вони однаковим чином входять у праву частину рівняння (10). В усіх інших відношеннях ці струми різко відрізняються один від одного. Сама істотна відмінність полягає в тому, що струми провідності відповідають руху електричних зарядів, в той час, як чистий струм зміщення – струм зміщення у вакуумі – відповідає лише зміні напруженості електричного поля і ніяким рухом електричних зарядів або яких-небудь інших часток речовини не супроводжується. Крім того, струми зміщення, на відміну від струмів провідності, не супроводжується виділенням джоулевого тепла. У випадку струмів зміщення у вакуумі це очевидно.

Наявність струмів зміщення – це наявність нового виду індукції при якому змінне електричне поле супроводжується магнітним полем.

Якщо це явище існує, то чому Фарадей не відкрив його? Перш за все, він його не шукав, але існує і більш фундаментальна причина. В будь-якому приладі, де є змінні електричні поля, є в той же час струми провідності – рухомі заряди, які перевищують струми зміщення. Магнітне поле навколо приладу є відповідно таким, яке могли б створювати струми провідності.

Щоб побачити це нове явище індукції, необхідні швидкозмінні поля, а саме, необхідно. Щоб поля помітно мінялися за час, який потрібний світлу для подолання габаритів приладу. Ось чому від теоретичного відкриття струмів зміщення Максвеллом до експериментального доведення їх існування Герцом пройшло багато років.