Тема X Релятивіська електродинаміка.

1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.

2. Наслідки з інваріантності рівнянь. Аберація світла.

3. Рівняння поля в тензорній формі. Тензор ЕМП.

3. Перетворення електричних і магнітних полів

4. Інваріанти поля.

1. Інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца.

Дослідимо поведінку електричного і магнітного полів при переході від однієї системи відліку до іншої. Розглянемо приклад. Будемо досліджувати електричне і магнітне поля, створені зарядом , що міститься в ракеті, яка рухається відносно Землі.

Виміряємо ці поля приладами, розташованими в ракеті, і приладами які нерухомі відносно Землі. У системі, пов’язаній з ракетою, заряд нерухомий, отже, він створює лише електричне поле. У системі Землі заряд рухається, а як відомо, рухомий заряд створює магнітне поле. Тому можна сказати, що магнітне поле в системі Землі пропорційне електричному полю в системі ракети і швидкості руху ракети.

Таким чином, в тому самому явищі в одній системі є тільки електричне поле , а в іншій—і електричне і магнітне. Так само можна сказати, що магніт, який рухається, створює як магнітне, так і електричне поля. Отже, електричні й магнітні поля не є інваріантами. Значення їх залежить від системи відліку.

Спеціальна теорія відносності(СТВ) була сформульована Ейнштейном у праці „До електродинаміки рухомих тіл”. Уже в цій роботі було поставлено і розв’язано питання про побудову теорії, в якій би закони електродинаміки не залежали від системи відліку, тобто були б релятивістськоінваріантними. Після введення Мінковським уявлення про чотирьохвимірний простір це завдання значно спростилося. Як ми вже зазначали , для розв’язання цього завдання досить сформулювати закони електродинаміки у вигляді співвідношень між чотиривимірними векторами і тензорами.

Раніше ми показали, що рівняння Максвела еквівалентні до рівнянь для потенціалів при виконанні калібровки Лоренца:

(1) (2)

(3)

Використаємо означення чотиривимірного оператора Лапласа-д’Аламбера:

; (4)

Тоді умови для потенціалів (1),(2) запишуться:

; (5)

Запишемо ці рівняння в 4-мірній формі. Для цього необхідно знати за яким законом перетворюється ці величини при перетворенні системи координат.

Фундаментальним законом природи, який повинен підтверджуватися в релятивістській електродинаміці, є закон збереження заряду і незалежності величини заряду від системи відліку, тобто інваріантність величини зряду. Закон збереження заряду записується у вигляді:

(6)

Введемо 4-мірні координати :

x₁=x, x₂=y, x₃=z, x₄=ict

Тоді рівність (6) розпишемо:

Ми одержали закон збереження заряду в 4-мірній формі.

(7)

де

(8)

Вектор густини струму разом з вектором густини заряду утворює єдиний чотиривимірний вектор .

Компоненти 4-мірного вектора при переході від однієї системи координат до іншої змінюються за формулами:

(9)

Вектор густини струму є відносною величиною.

Нехай у одній системі К' заряд нерухомий , тобто j'₁=j'₂=j'₃=0; j'₄=icρ₀ тоді з (9) випливає, що:

(9')

або

(9'')

Ми маємо тут, як видно з формули (9''), два ефекти.

1) По-перше, у новій системі відліку виникає струм, що природно, оскільки в системі К заряд рухається. Цей ефект має місце і в нерелятивістському випадку в наближенні (v/c<<1); дійсно, нехтуючи величиною v²/c² у першій з формул (9'') отримаємо j=vρ₀.

2) Другий значно цікавіший ефект полягає в тому, що величина густини заряду в системі К виявляється збільшеною в (1-v²/c²)^-½ раз в порівнянні з ρ₀. Цей ефект має місце лише в релятивістській області. Як видно з останньої формули (9''), при v<<c маємо ρ ≈ ρ₀. Тобто в класичній фізиці густина заряду абсолютна.

Відмітимо таку важливу обставину: при русі об’єм , в якому поміщений заряд, релятивістськи скорочується в поздовжньому напрямку. Завдяки цьому величина об’єму, яка знаходиться в русі в (1-v²/c²)^-½ раз менше, ніж об’єму dV₀ , який знаходився в спокої.

Величина повного заряду, який знаходиться в об’ємі dV, дорівнює добутку густини заряду на об’єм.

Ми бачимо, що електричний заряд довільного тіла (зокрема, заряд елементарних частинок, наприклад, електрона) є величина інваріантна.

Систему (9'') можна переписати в такому вигляді:

Одержуємо відоме співвідношення

(10)

Покажемо, що потенціали A,φ утворюють єдиний чотиривимірний вектор. Оператор д’Аламбера  запишемо у чотиривимірній формі:

Розглянемо (5.2)

одержимо

(11)

Використаємо тепер (5.1) та (5.2) у формі (11)

(12)

У правій частині цієї системи рівнянь записані компоненти чотиривимірного вектора j₁ . Отже, в лівій частині рівнянь записано дію чотиривимірного оператора  на чотиривимірний вектор

.

Цю систему рівнянь можна записати у вигляді:

(13)

Те, що ми називали скалярним і векторним потенціалами, виявляються лише різними частинами однієї і тієї ж величини .Вони не віддільні одне від одного .А якщо це так, то релятивістська інваріантність світу очевидна.

Фізика рівняння Даламбера (13) така ж ,як і у рівнянь Максвела . Але є своя красота в тому, що можна переписати їх у такій елегантній формі. Але ця красива форма містить і дещо більш значне – з неї безпосередньо видно інваріантність електродинаміки відносно перетворень Лоренца.

Пригадаємо, що рівняння (13) можна отримати із рівнянь Максвела, коли накладена додаткова умова градієнтної інваріантності.

Калібровка Лоренца в наших позначеннях запишеться:

(14)

Умова градієнтної інваріантності говорить, що дивергенція чотиривимірного вектора А дорівнює нулю. Така форма умови Лоренца дуже зручна: вона інваріантна, а тому рівняння Максвела в усіх системах відліку зберігають вигляд (13).

При переході від однієї системи координат до іншої чотиривимірний вектор потенціалу поля перетворюється за формулами:

(15)

Рівняння (15) вказує на нерозривний зв’язок між векторним і скалярним потенціалами поля.

Якщо в системі K' векторний потенціал A'=0 тобто немає магнітного поля і існує електростатичне поле, то в системі K магнітне поле буде

,

Отже, в рамках чотиривимірного простору ми знайшли розв’язання задачі, розглянутої на початку параграфа.