13.Поле системи зарядів на далеких віддалях

_{Розглянемо систему точкових нерухомих зарядів, які зосереджені в деякому об’ємі V.}

_{Будемо розглядати поле, яке створюється системою зарядів на віддалях більших ніж розміри системи, тобто R0>>ra.}

_{Введемо систему координат з початком де-небудь всередині системи зарядів. Радіус – вектори окремих зарядів нехай будутьra. Будемо визначати поле, яке створюється в точці P на віддалі R0 від системи зарядів.}

_{Для одного заряду, a-го, потенціал визначиться з умови}

φ_a=kq_a/R_a(1)

_{де Ra— радіус–вектор від заряду до точки спостереження.}

_{Для системи зарядів}

(2)

_{сумування проводиться по всіх зарядах.}

_{Перейдемо від змінної величини Ra до постійної R0 :}

R_a=R₀-r_a(3)

_{Оскільки ми розглядаємо поля на віддалях значно більших розмірів системи, то можна скористатися малістюra в порівнянні з R0 і провести розклад в ряд:}

(4)

_{деxα, xβ - компоненти радіус – вектора ra . Xα, Xβ — компоненти радіус – вектора R0.}

_{Зауваження:}

_{Використовуючи, що}

_{остаточно одержимо:}

_{Використовуючи (4), (3), рівняння (2) перепишеться:}

_{Розглянемо кожне з наближень зокрема}

(6)

_{В нульовому наближенні потенціал на далекій віддалі від системи еквівалентний потенціалу такого заряду, величина якого дорівнює сумі всіх зарядів і поміщеного в початок відліку.}

_{Знайдемо напруженість поля в цьому наближенні.}

(7)

_{Розглянемо перше наближення. Можуть бути випадки, що сума всіх зарядів ∑q a=0, тому в нульовому наближенні φ}⁽⁰⁾_{=0 і, відповідно, Е}⁽⁰⁾₌₀

_{Знайдемо}

_{Величина pa=qara називається дипольним моментом. Тому}

(8)

_{де p=∑qara =∑pa сума дипольних моментів.}

_{В першому наближенні потенціал системи зарядів на далеких віддалях еквівалентний потенціалу диполя, поміщеного в початок відліку.}

_{Отже, якщо система електронейтральна, то потенціал такої системи треба обчислювати в дипольному наближенні.}

_{Істотно, що якщо сума ∑qa всіх зарядів дорівнює нулю, то дипольний момент системи не залежить від вибору початку координат. Дійсно, радіус-вектори ra i r'a одного і того ж заряду в двох різних системах відліку пов’язані один з одним співвідношеннями}

_r'a=ra+b

_{де b- деякий постійний вектор, тому, якщо ∑qa=0 , то дипольний момент в обох системах буде однаковий:}

_{Зокрема, для системи двох зарядів протилежного знака( ±e ) дипольний момент p=er, де r-радіус-вектор проведений від заряду ( -e ) до (+e )}

_{Дійсно :}

_{Обчислимо напруженість поля}

_{Обчислимо}

_1.

_2.

_{Таким чином}

(9)

_{Отже, потенціал поля, який створюється системою, з рівним нулю повним зарядом, на великих віддалях обернено пропорційна квадрату віддалі, а напруженість поля – кубу віддалі.}

14.Квадрупольний момент

_{В розкладі потенціалу по степенях ( 1/R0 ) можна встановити таку закономірність}

φ=φ⁽⁰⁾+φ⁽¹⁾+φ⁽²⁾+…+φ⁽ⁿ⁾(1)

_де

(2)

_{Ми встановили, що перший член, φ}⁽⁰⁾ _{визначається сумою всіх зарядів; другий, φ}⁽¹⁾_—

_{називається дипольним потенціалом системи, визначається дипольним моментом.}

_{Бувають випадки, коли повний заряд системи рівнянь дорівнює нулю, крім того дипольний момент такої системи також може дорівнювати нулеві. Розглянемо систему:}

_{Справджуються два вище згадані випадки}

_{Така система називається квадруполем .}

_{Третій член розкладу (5), дорівнює}

(3)

_{і називається квадрупольним потенціалом. Коли α = β , то ми одержимо Ñ}² _(1/R0)

_{Розпишемо}

(4)

_{1/R0- є фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа ( Ñ}²_{φ = 0 ) і завжди задовольняє це рівняння.}

_{Помножимо (4) на}

_{і віднімемо від (3) рівняння (4):}

_{Введемо величину Dαβ— тензор 2 –го рангу}

(5)

_{яка називається квадрупольним моментом системи . Тоді}

(6)

_{Із визначення Dαβ слідує, що сума його діагональних елементів (компонент) дорівнює нулю}

∑D_αβ=0 (7)

_{Симетричний тензор Dαβ має тому лише п’ять незалежних компонент.}

_{Його можна записати:}

_{В силу симетричності: D12 = D21; D13 = D31 ; D32 = D23}

_{Сума діагональних елементів D11+D22+D33 = 0 . Тому для діагональних елементів одну із компонент можна виразити через дві інші. Всього існує 5 незалежних компонент.}

_{Отже, потенціал в другому наближенні еквівалентний потенціалу квадруполя, поміщеного в початок відліку.}

_{Цілком аналогічно, як це було пророблено в попередньому параграфі для дипольного моменту, легко переконатися в тому, що квадрупольний момент системи не залежить від вибору початку координат, якщо дорівнює нулю як повний заряд, так і дипольний момент системи.}

_{Аналогічним чином можна було б написати наступні члени розкладу l-ий член розкладу визначається тензором (так званим тензор 2}^l_{-польного моменту) l-го рангу, який симетричний по всіх своїх індексах і який перетворюється в нуль при згортанні по довільній парі індексів; можна показати, що такий тензор має 2l + 1 незалежну компоненту.}