Додаток Криволінійні координати

Багато задач розв’язується набагато простіше при використанні криволінійних координат.

Переважно вектори та операції над ними визначаються в декартовій системі координат, в такому випадку необхідно мати формули, які забезпечують відповідний перехід до іншої системи координат.

x=(q₁, q₂, q₃)

y=y(q₁, q₂, q₃) (1)

z=(q₁, q₂, q₃)

або

r=x(q₁, q₂, q₃)i+y(q₁, q₂, q₃)j+z(q₁, q₂, q₃)k

Розглянемо похідні

(2)

що утворюють трійку незалежних векторів. Модулі векторів (2) відповідно дорівнюють:

(3)

і називаються коефіцієнтами Ламе.

Введемо в розгляд одиничні вектори

(4)

які виберемо за базис. Для ортогональної криволінійної системи базис задовольняє властивості:

(e_i,e_j)=0;e_i=[e_j,e_k] (5)

Зв’язок між декартовим базисом i, j, kі базисомe_i,e_j,,e_kдається формулами (2) і (4).

Диференціальні операції у криволінійній системі координат

У будь-яких ортогональних координатах квадрат елемента дуги

(6)

Де: Н₁, Н₂, Н₃—коефіцієнти Ламе.

Елемент об’єму

(7)

Градієнт скалярного поля, яке задається функцією f(q₁, q₂, q₃)

(8)

Дивергенція вектора

(9)

Ротор вектора

(10)

Оператор Лапласа

(11)

Приклад:

I.Циліндричні координати (q₁=r, q₂=φ, q₃=z)

H₁=1, H₂=r, H₃=1; dl²=dr² +r²dφ²+dz²; dV=rdrdφdz

ІІ.Сферичні координати

Тема ІІ. Електростатичне поле у вакуумі.

1. Закон Кулона;

2. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції полів;

3. Теорема Остроградського – Гауса;

4. Потенціальний характер електростатичного поля.

5. Електростатичний потенціал.

6. Рівняння Пуассона і Лапласа.

7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона

8. Основні завдання електростатики

9. Теорема єдиності.

10. Енергія взаємодії електричних зарядів

11. Енергія електростатичного поля.

12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.

13. Поле системи зарядів на далеких віддалях.

14. Квадрупольний момент.

15. Поверхневі і об’ємні зв’язані заряди. Зв’язок між векторами E, D i P

16. Діелектрики. Вектор поляризації,

17. Полярні діелектрики.

18. Умови на границі поділу двох діелектриків.

19. Електричне поле поляризованого тіла.

20. Електростатичне поле в провідниках.

21. Метод відображень.

1.Закон Кулона

1. В основі електростатики лежить закон взаємодії точкових зарядів у вакуумі — закон Кулона, встановлений як узагаль­нення експериментальних фактів:

сила взаємодії f двох точкових зарядів прямо пропорційна добуткові кількостей електрики цих зарядів е₁ і е₂ і обернено пропорційна квадратові відстані r між ними, тобто

(1.1)

де k — коефіцієнт пропорціональності.

Сили взаємодії між двома точковими зарядами напрямлені вздовж прямої, яка сполучає ці заряди. При взаємодії одноймен­них зарядів (наприклад, позитивних) ці сили є силами відштов­хування, а для різнойменних — силами притягання.

При обчисленнях позитивний заряд (його кількість електрики) виражають числом додатним, а негативний—від'ємним; кількість електрики часто називають просто зарядом. Визначена за законом Кулона сила додатна при взаємодії однойменних зарядів і від'ємна для різнойменних зарядів. Отже, від'ємна сила є силою притя­гання, а додатна—силою відштовхування.

2. У законі Кулона (1.1) вводиться до розгляду нова фізична величина—заряд. Для використання рівності (1.1) в обчисленнях слід встановити одиницю заряду. Це можна зробити двома спо­собами: 1) вибрати наперед і довільно коефіцієнт k; тоді оди­ниця заряду визначатиметься однозначно з (1.1); 2) вибрати на­перед і довільно одиницю заряду; тоді з (1.1) однозначно виз­начатиметься коефіцієнт k.

Першим із цих способів користуються в системі одиниць СГСЕ, другим—у Міжнародній системі одиниць СІ.

У системі СГСЕ коефіцієнт пропорціональності k в законі Кулона прирівнюють до одиниці і вважають безрозмірним; тоді формула цього закону набирає вигляду:

(1.2)

Тому в цій системі за одиницю заряду прийнято такий точ­ковий заряд, який діє на рівний заряд, розміщений на відстані 1 см, із силою в 1 дину. Ця одиниця називається абсолютною одиницею заряду.

Абсолютна одиниця заряду дуже мала порівняно з тими за­рядами, які трапляються в електротехніці. Тому на практиці звичайно користуються в 3 • 10⁹ раз більшою одиницею заряду;її називають кулоном (Кл):

1 кулон = 3·10⁹ абс. од. заряду.

3. У системі СІ відстані вимірюють у метрах, силу — в ньютонах, а заряд—у кулонах. Оскільки одиниці вимірювання всіх величин, які входять у формулу (1.1), у системі СІ вже цілком визначені, то коефіцієнт пропорціональності k має певне числове значення і певну розмірність. Щоб знайти k, розглянемо взаємо дію двох точкових зарядів, кожний по 1 абс. од., розміщених на відстані 1 см один від одного, і виразимо всі величини в системі СІ:

r=1см= 10^-2 м; f=1дин = 10^-5 н;

е₁ = е₂ =e= 1 абс. од. =1/3·10^-9 K

Підставляючи ці значення в формулу (1.1), знайдемо:

звідки

(1.3)

Тому в системі СІ закон Кулона (1.1) набирає вигляду

(1.4)

Рівняння і формули, які найчастіше доводиться використовувати в електродинаміці, набирають простішого вигляду, якщо закон Кулона записувати у так званій раціоналізованій формі, а саме:

(1.5)

де вважають, що коефіцієнт k дорівнює:

(1.6)

Тоді з (1.3) і (1.6) матимемо:

(1.7)

Сталу ε₀ називатимемо електричною сталою (абсолютною діелектричною проникністю) системи СІ.

4. Закон Кулона визначає взаємодію точкових зарядів, тобто двох наелектризованих тіл, розміри яких досить малі порівняно з відстанню між цими тілами. Отже, заряди, що ми їх звемо точковими, можуть мати і порівняно великі геометричні розміри, аби тільки відстань між цими зарядами була значно більшою за їх розміри.

5. Закон Кулона можна подати у векторній формі. Нехай f₁₂ є сила, з якою заряд е₁ діє на заряд e₂ , a f₂₁—сила, з якою заряд e₂ діє на заряд e₁. Матимемо:

(1.8)

де r₁₂ — вектор, що з'єднує точки простору, в яких містяться заряди е₁, і е₂ .

Формула (1.8) справедлива і для позитивних, і для негативних зарядів е₁ та е₂. Також матимемо:

(1.9)

При цьому ₂

6. Основні положення кожної фізичної теорії встановлюються як узагальнення експериментальних фактів і знову перевіряються практикою: відповідністю між теоретичними висновками, що базуються на цих основних положеннях, і експериментом. Це сто­сується і закону Кулона. Цей закон було встановлено в результаті безпосереднього експериментального дослідження взаємодії точко­вих зарядів.

Змінюючи в експерименті відстань r між двома точковими зарядами, легко переконатись, що сила їх взаємодії дійсно змінюється обернено пропорційно квадратові відстані r . Щоправда, складнішою є перевірка другого твердження—що сила взаємодії прямо пропорційна добуткові величин зарядів. Справа в тому, що величина зарядів може бути визначена в свою чергу тільки порівнянням сил їх взаємодії. Проте, хоча рівність (1.1) і вико­ристовується для визначення величини зарядів, та водночас вона виражає також і певне твердження, яке допускає експеримен­тальну перевірку.

Пояснимо це докладніше. Нехай ми визначили силу взаємодії f₁₃ між зарядами 1 і 3, розміщеними на певній відстані; потім знайдемо силу взаємодії f₂₃ , вміщуючи заряд 2 в точку, де був заряд 1. Дослід показує, що відношення сил f₁₃/f₂₁, з якими заряди 1і 2 окремо взаємодіють з зарядом 3, не залежить ні від вели­чини заряду 3, ні від відстані, на якій від нього були заряди 1 і 2. Отже, відношення сил, з якими заряди 1 і 2 кожний окремо взаємодіють з зарядом 3, визначається лише самими зарядами 1 і 2. Спираючись на цей дослідний факт, вважають, що відношення величин першого і другого зарядів просто дорівнює відношенню сил, тобто

Так в електростатиці встановлюється загальний метод вимі­рювання відношення зарядів. Якщо тепер встановити певну одиницю заряду, то можна визначити не тільки відношення, а й абсо­лютну величину зарядів.

Звертаємо увагу на те, що при визначенні величин зарядів е₁, е₂, . . е_n всі вони приводились у взаємодію послідовно з тим самим зарядом, який не належав до розглядуваної множини е₁, е₂, . . е_n . Тому у нас є додаткова можливість поставити досліди для виявлення взаємодії зарядів е₁, е₂, . . е_n між собою. Дослід свідчить, що сила взаємодії між будь-якою парою зарядів із множини е₁, е₂, . . е_n прямо пропорційна добуткові величин відповідних двох зарядів. Цей факт і є безпосереднім експери­ментальним підтвердженням закону Кулона.

7. Зробимо зауваження загального характеру про вимірювання фізичних величин. Всяка дискретна величина містить свою міру в самій собі. Наприклад, кількість бусинок у намисті можна просто перерахувати. У процесі лічби встановлюється взаємно однозначна відповідність між елементами дискретної величини і числами натурального ряду . На відміну від дискретної величини неперервна величина не містить міри в самій собі: для вимірювання, напри­клад, довжини відрізка треба порівняти його протяжність з протяжністю певного масштабу, який можна вибрати цілком довільно. Отже, вимірюючи непе­рервну величину, ми привносимо певну міру і сам спосіб вимірювання із зовні.

Проте в ряді випадків і дискретні фізичні величини можна розглядати з великою точністю як неперервні і вимірювати їх за методом для вимірювання неперервних величин. Саме так і вимірюють електричний заряд в електростатиці: не безпосередньо за кількістю елементарних зарядів (елементарний заряд дорівнює заряду електрона), а порівнянням сил взаємодії, як було пояснено вище. Очевидно, що хоча заряд і є дискретною величиною, проте підрахунок кількості елементарних його зарядів практично і тепер не може бути здійснений просто. У XVIII ст., коли вчення про електромагнетизм тільки створювалось, заряд розглядали як неперервну величину. Тому єдиним доступним спо­собом вимірювання заряду тоді був спосіб, указаний Гаусом, що зводиться до порівняння сил взаємодії зарядів.

8. Закон Кулона встановив у 1794 р. Шарль-Огюстен Кулон на основі експериментів з макроскопічними зарядами. У 1913 р. відомий англійський фізик Резерфорд, вивчаючи закон розсіювання паралельного потоку α - частинок при проходженні їх через металеву пластинку (фольгу), довів, що для заря­джених мікрочастинок закон Кулона залишається справедливим аж до відстаней порядку 10^-12 см. У цих дослідах відхилення α - частинок від прямолінійних траєкторій при проходженні крізь пластинку пояснюється кулонівською силою взаємодії ядер атомів матеріалу пластинки з α - частинками, які, пронизуючи пластинку, пролітають поблизу від ядер. В результаті цієї взаємодії α - частинки відхиляються по гіперболічних траєкторіях від своїх початкових напрямів руху у відповідності з законом Кулона.

Зауважимо, що формальна аналогія закону Кулона з раніше встановленим законом всесвітнього тяжіння Ньютона і високий рівень розвитку механіки підсилювали в XIX ст. позиції прихильників теорії далекодії, які трактували взаємодію електричних зарядів подібно до взаємодії небесних тіл, як дію на відстані, без участі будь-якого проміжного матеріального агента.

9. На закінчення зазначимо, що закон Кулона описує взаємодію зарядів лише формально математично. За цим законом взаємодія віддалених зарядів

встановлюється миттєво (з нескінченно великою швидкістю) через простір, що їх розділяє.

Фарадей і Максвел розвинули інший погляд на природу взаємодії зарядів. Вони вважали, що кожний електричний заряд утворює навколо себе електричне поле. На внесений в поле заряд воно діє з певною силою. Ця сила залежить від характеру поля в тій точці, в яку внесено заряд.

Отже, сила, з якою один заряд діє на другий, за Фарадеєм і Максвелом, визначається дією поля першого заряду на другий заряд. Отже, замість уявлень про далекодію Фарадей і Максвел розвинули теорію близькодії, за якою взаємодія зарядів здійснюється через поле.

Сучасне вчення про електричні і магнітні явища є вченням про електромагнітні поля, що існують навколо електричних зарядів

Основні особливості закону Кулона