8.Основні завдання електростатики

_{Введення поняття потенціалу значно полегшує розв’язок задач електростатики , бо задача визначення векторного поля електричної напруженості E зводиться до визначення поля скаляра φ ; іншими словами, визначення трьох функцій точки ( складові вектора E ) зводиться до визначення лише однієї функції φ .}

_{Основною задачею електродинаміки є відшукання поля , утвореного системою зарядів, розміщених на провідниках. Можливі дві різні постановки цієї задачі:}

1. _{Задано значення потенціалів провідників. Треба визначити електростатичне поле в просторі поза провідниками і закон розподілу густини зарядів на цих провідниках.}

_{Якщо все поле заповнене однорідним середовищем, то ця задача зводиться до відшукання функції φ , яка}

1. _{Задовольняє рівняння Лапласа Ñ}²_{φ = 0 в об’ємі, межею якого є система поверхонь провідників;}

2. _{Дорівнює нулю на нескінченності;}

3. _{Набуває заданих значень φi на поверхнях провідників. φ|Si = φ}

_{2. Відомо величини повних зарядів провідників. Треба визначити потенціали провідників, густину зарядів на їх поверхнях і полі в однорідному середовищі поза провідниками. Ця задача зводиться до відшукання функції φ , яка:}

1. _{Задовольняє рівняння Лапласа Ñ}²_{φ = 0 у просторі поза системою зарядів;}

2. _{Дорівнює нулю по нескінченності;}

3. _{Набуває на поверхнях провідників певних сталих значень φ|Si = φ = const}

4. _{Задовольняє на поверхнях провідників співвідношення : En = -∂φ/∂n = σ/ε0}

_{де σ — поверхнева густина зарядів}

9. Теорема єдиності.

_{Якщо знайдено який – не будь розв’язок основної задачі електростатики, то він єдиний (інших розв’язків немає)}

_{Припустимо протилежне: хай існують два розв’язки задачі φ1 і φ2 .При відсутності об’ємних зарядів як φ1так і φ2 повинні задовольняти в усьому просторі рівняння Лапласа, тому і їх різниця}

φ = φ₁ - φ₂(1)

_{задовольняє тому ж співвідношенню}

Ѳφ = 0 (2)

_{Використаємо формулу Гріна}

(3)

_{припускаючи в ній, що ψ = φ і беручи до уваги, що Ñ}²_{φ = 0 , знаходимо}

_або

(4)

Тут інтегрувати слід по всьому простору поза межами провідника; поверхнею S є сукупність поверхонь усіх провідників.

Функція φ на поверхні S дорівнює нулю, бо функції φ₁ і φ₂ мають на цій поверхні ( за припущенням) одинакові значення; тому рівність (4) буде такою:

(5)

_{оскільки підінтегральна функція >0 , то (Ñφ)}² _{= 0 або}

Ñφ =gradφ = 0 (6)

_тобто

φ = const(7)

_{Оскільки на поверхні провідника φ = φ1 - φ2 дорівнює нулю ( const =0), то і у всіх точках простору φ = 0 , а тому}

φ₁= φ₂(8)

10.Енергія взаємодії електричних зарядів

1.При переміщенні електричних зарядів сили кулонівської взаємодії між ними виконують певну роботу. Очевидно, що ми повинні приписати всякій системі зарядів певну енергію взаємодії за рахунок зменшення якої і здійснюється робота А:

dA = -dW(1)

( -A_∞=W=qφ потенціальна енергія)

Енергію взаємодії зарядів W ми часто будемо називати просто електричною енергією.

2.Виходячи з формули (1) підрахуємо перш за все енергію точкових зарядів q₁ і q₂, які знаходяться на віддалі R₁₂ один від одного. Всяка зміна взаємного розміщення зарядів супроводжується роботою електричних сил. Припустимо, наприклад, що заряд q₂ залишається нерухомим, тоді як заряд q₁ переміщується в полі заряду q₂ з точки P₁ в точку P'₁ .

В точці P₁ зарядом q₂ створюється потенціал φ₁=kq₂/R₁₂ ; В точці P'₁ створюється потенціал φ₁+dφ₁ = φ'₁

Робота A електричних сил при цьому переміщенні дорівнює

(2)

звідки

dA = -dW ÞdW = q₁dφ₁(3)

Проінтегрувавши,

W = q₁φ₁= k(q₁q₂/R₁₂) (4)

До такого виразу для W ми б прийшли , якби розглядали переміщення заряду q₂ в полі нерухомого заряду q_1, або, нарешті, одночасне переміщення обох зарядів

W = q₂φ₂= k(q₂q₁/R₂₁) (5)

Зручніше всього взаємну електричну енергію зарядів і записати у симетричній формі.

W = ½( q₁φ₁ + q₂φ₂) = k/2(q₁q₂/R₁₂ + q₂q₁/R₂₁) (6)

Якщо (6) узагальнити на систему n зарядів, то одержимо

(7)

де φ_i- потенціал поля в точці, яку займає заряд q_i; потенціал заряду q_i в точці, яку він сам займає у вираз для φ_i не входить, та крім того, взагалі фізичного змісту немає, бо перетворюється в нескінченність.

Щоб вияснити залежність W від взаємної віддалі між зарядами, використаємо вираз для потенціалу точкового заряду, який у нашому випадку набирає виду

(8)

Підставляючи (8) в (7) одержимо

(9)

Поява коефіцієнта 1/2 перед знаком суми пояснюється тим, що в цю суму енергія кожної пари зарядів входить двічі, так, наприклад, в ній зустрінеться як q₁q₂/R₁₂ так і q₂q₁/R₂₁.

Виключаючи доданок i = k , ми виключаємо енергію самого заряду — власну енергію (енергія, яка необхідна, щоб розбити заряд на елементи і розділити їх в ∞ віддалені точки).

При користуванні уявленням про точкові заряди необхідно пам’ятати, що приведені формули можуть використовуватися лише в тих випадках, коли заряди системи відділені один від одного віддалями, значно більшими, ніж розміри самих зарядів. Щоб позбавитись цього обмеження, перейдемо до розгляду об'ємних і поверхневих зарядів. Розбиваючи систему цих зарядів на сукупність елементарних зарядів ρdV i σdS , застосовуючи до них формули (7) і переходячи від сумування до інтегрування, одержимо

(10)

де φ - значення потенціалу поля всіх об'ємних і поверхневих зарядів в елементі об'єму dV або на елементі поверхні dS .

Хоча може здатися, що рівняння (10) видозмінене рівняння (7), яке відповідає заміні представлення про точкові заряди уявленням про заряди об'ємні і поверхневі, однак в дійсності рівняння відрізняються за своїм змістом. Формула (10) описує повну енергію системи електричних зарядів, тоді як формула (7) не враховує так званої власної енергії зарядів .