Додаток:

1) Вектори E і H ( з системи рівнянь Максвела ) пов’язані між собою лише у випадку змінних полів. Для стаціонарних полів ( ∂H/∂t=0 ; ∂E/∂t=0) система диференціальних рівнянь розпадається на дві незалежні підсистеми.

При експериментальному дослідженні ми виявляємо електромагнітне поле за його силовою дією, при якій енергія поля перетворюється в інші форми енергії.

Повна енергія :

для густини:

2) Густина струму j може бути представлена у вигляді:

Тому вираз

може бути переписаний

jE_стор- представляє роботу сторонніх ЕРС в одиниці об’єму за одиницю часу, тобто потужність ;j²/σ - джоулева теплота ;∂w/∂t - приріст електромагнітної енергії ;div S - потік енергії, який витікає з одиниці об’єму за одиницю часу.

Таким чином, в одиниці об’єму за одиницю часу робота сторонніх ЕРС іде на покриття джоулевих втрат, на збільшення електромагнітної енергії і на покриття зменшення енергії, яка виходить назовні.

;

Щосекунди потік енергії Σ через замкнуту поверхню дорівнює:

(теорема Умова-Пойтінга )

а) при

;

інтегруємо по всьому об’єму:

;

б) S ^ E,H.

3) S=[EH] вектор Умова-Пойтінга перпендикулярний до Е і Н, тобто електромагнітна енергія протікає в напрямку перпендикулярному до цих векторів.

4) Носієм енергії є поле струму, локалізоване як у провіднику, так і в оточуючому просторі ; у провіднику відбувається лише поглинання енергії, тобто її перетворення в інші види енергії. Неправильно вважати заряди, які є носіями струму, також і носіями електромагнітної енергії струму.

Тема VII елektpomaгнітні хвилі

1. Хвильове рівняння

2. Плоскі електромагнітні хвилі

3. Монохроматична плоска хвиля.

4. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі.

5. Фазова і групова швидкості.

6. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків

7. Розповсюдження електромагнітних хвиль у діелектрику.

8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.

9. Скін-ефект

1. Хвильове рівняння

Електромагнітне поле в вакуумі визначається рівняннями Максвелла, у яких треба покласти ρ=0, j=0. Випишемо їх ще раз:

(1)

(2)

При вказаних умовах:

rot E= - μ₀∂H/∂t (1')

div H=0

rot H=ε₀∂E/∂t (2')

div E=0

Ці рівняння можуть мати відмінні від нуля розв‘язки. Це значить, що електромагнітне поле може існувати навіть при відсутності будь-яких зарядів, струмів.

Електромагнітні поля, що існують у вакуумі при відсутності зарядів і струмів, називають електромагнітними хвилями. Ми займемося тепер дослідженням властивостей таких полів.

Насамперед відзначимо, що ці поля не можуть бути статичними, тобто обов'язково повинні бути змінними у часі.

Доведемо від супротивного. Припустимо, що поля статичні, тобто E=const, H=const, ∂H/∂t = 0; ∂E/∂t = 0 і рівняння (1'—2') переходять у рівняння

(3)

З другого боку, статичні поля можна описати такою системою рівнянь:

(4)

Систему (4) можна описати з допомогою рівнянь для потенціалів:

(4')

Розв’язки цих рівнянь, визначені формулами

(5)

при ρ = 0, j = 0 потенціали перетворюються в нуль.

Отже, припустивши, що поля статичні, ми одержали нулеві розв’язки. Це говорить про те, що електромагнітні хвилі обов’язково змінні в часі.

Виведемо рівняння, що визначають потенціали електромагнітних хвиль.

Як ми вже знаємо, у силу неоднозначності потенціалів завжди можна накласти на них деяку додаткову умову. На цій підставі виберемо потенціали електромагнітних хвиль так, щоб скалярний потенціал дорівнював нулю:

φ = 0

Тоді вираз для напруженості електричного поля

(6)

перетвориться в

(7)

Індукцію магнітного поля запишемо у вигляді

(8)

Підставляючи обидва ці рівняння в перше з рівнянь (2'), знайдемо:

Незважаючи на те, що ми вже наклали одну додаткову умову на потенціали, потенціал А все-таки ще не цілком однозначний. Саме, до нього можна додати градієнт будь-якої не залежної від часу функції (не змінюючи при цьому Н). Зокрема, можна вибрати потенціал електромагнітної хвилі таким чином, щоб

div А= 0.(9 )

Рівняння набуває вигляду

(10)

Це і є рівняння, що визначає потенціал електромагнітних хвиль. Воно називається рівнянням д’Аламбера або хвильовим рівнянням .

Можна показати, що напруженості Е и Н задовільняють такі ж хвильові рівняння, наприклад:

але

Хвильове рівняння іноді записують у вигляді ðА=0, де

ð=Ѳ-(1/c²)∂²/∂t²

є так званий оператор д‘Аламбера.

Якщо ввести позначення f =(A,E,H) тоді хвильове рівняння запишеться так:

(11)

Рівняння (8) ще називають рівнянням ейконала.