7. Розповсюдження емх у діелектрику

Запишемо систему рівнянь Максвела для середовища:

(1)

Запишемо цю систему для однорідного ізотропного діелектрика. Для таких діелектриків ρ=0, j=0.

Будемо розглядати область далеку від області дисперсії (поглинання), тобто такі частоти, які далекі від атомних частот, тобто ε; μ є статичними величинами, постійними. Система рівнянь Максвела приймає вигляд:

(2)

Треба одержати рівняння, що описує розповсюдження хвилі, тобто рівняння Д’Аламбера.

Візьмемо rot від(2.1):

або

Оскільки divE=0 з (2.4), і, використовуючи у правій частині рівності (2.3), одержимо

(3)

Проводячи аналогію до рівняння Д’Аламбера у вакуумі, можна записати:

(4)

Аналогічне рівняння можна записати і для напруженості магнітного поля:

(5)

Звідки можна визначити швидкість v - швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у діелектрику:

(6)

Ця формула була вперше одержана Максвелом.

(7)

називається показником заломлення.

Формула (7) справедлива для речовин, молекули яких не поляризовані, тобто не мають дипольних моментів.

Розглянемо розповсюдження плоских електромагнітних хвиль у діелектрику.

Запишемо рівняння Даламбера:

(8)

Розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді плоскої монохроматичної хвилі:

(9)

Підставимо (9) у (8):

(10)

Розв’язок рівняння (10) шукаємо у вигляді :

,

де

k=/v (11)

Дійсно, підставимо (11) в (10):

Тоді дійсний розв’язок рівняння (8) можна записати у вигляді:

(12)

Формула (12) описує рівняння плоскої хвилі у діелектрику.A- амплітуда вектора E₀. Незалежність амплітуди від координат означає, що поширення плоских хвиль в діелектрику не пов’язане із зміною їх інтенсивності.

Розглянемо вираз для к :

k=k_вn(13)

де k_в - значення хвильового вектора у вакуумі.

8. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.

Запишемо систему рівнянь Максвела для провідника (вважаємо провідник однорідним та ізотропним):

(1)

Треба одержати хвильове рівняння, що описує розповсюдження електромагнітних хвиль у првіднику.

На (1.3) подіємо операцією rot :

(2)

Ми будемо розглядати плазму, але не метали, оскільки у металах електричне поле розповсюджується у поверхневому шарі – спостерігається так званий скін-ефект.

Розпишемо рівняння (2):

або

(3)

Будемо шукати розв’язок рівняння (3) у вигляді плоскої монохроматичної хвилі.

(4)

(4) підставимо у (3), одержимо:

(5)

Введемо позначення

(6)

Тоді рівність (5) набере вигляду:

(7)

Загальний вигляд такий же як і у випадку діелектриків, лише к – комплексна величина. Відомо, що якщо величина містить комплексну частину, то це описує поглинання.

Розв’язок рівняння (7) можна записати

(8)

Дослідимо розв’язок системи (3) у випадку провідника.

Хвильовий вектор к , формулу (6), можна представити як суму дійсної і уявної частини

(9)

З формули (9) знайдемо який вигляд дійсної і уявної частини:

(10)

(11)

Звідси

(12)

Звідси

Остаточно

(13,14)

Підставляючи (10) (і відповідно явний вигляд p i q) у формулу (9), одержимо:

(15)

e^-qx показує, що експоненціально зменшується амплітуда хвилі при заглибленні у провідник. Відбувається поглинання.

Величина поглинання буде визначатися співвідношенням між ε₀, μ_0, ω, σ. q в усіх випадках повинно бути менше нуля. В противному буде не фізичний результат (при заглибленні — інтенсивність зростає).

Будемо досліджувати p і q при різних частотах і різних провідностях.

Розглянемо (1.3):

Якщо Н i Е мають вигляд плоских монохроматичних хвиль

(16)

Тоді

(17)

Розглянемо два випадки

1)

(18)

Це означає, що в цьому випадку можна знехтувати струмами зміщення. Умову (18) можна переписати

(19)

тобто коли велика провідність, або мала частота.

Цим умовам задовольняє провідник. Тоді у формулах (13), (14) для p і q величиною εε₀ можна знехтувати:

(20,21)

Для речовин, в яких виконується умова (19) буде спостерігатися інтенсивне поглинання електромагнітної хвилі.

(22)

Ця енергія йде на збудження електронів – виникає струм, який супроводжується виділенням теплової енергії по закону Ленца-Джоуля.

Величина

відіграє роль хвильового числа (у вакуумі k=ω/c ; у діелектрику k=(ω/c)n=ω/v ; звідси v=ω/k ).

У нашому випадку фазова швидкість

(23)

Одержується функція від частоти. Факт залежності показника заломлення від частоти називається дисперсією, оскільки саме через дисперсію світло “диспергує”, розкладається призмою в спектр. Формула, яка виражає показник заломлення як функцію частоти називають формулою дисперсії.

2)

Розглянемо обернену нерівність

σ/ω<<εε₀(24)

Це справедливо для речовин, у яких σ мале і велика частота. До цього класу відносяться діелектрики. В цьому випадку

(25)

співпадає із значенням к для діелектриків у попередньому параграфі.

Тоді

У діелектрику поглинання немає.