3. Теорема Гауса

Безпосереднє застосування закону Кулона і принципу супер­позиції полів для визначення напруженості електростатичного-поля часто приводить до надто громіздких обчислень, які важко провести до кінця. У багатьох випадках ця задача може бути істотно спрощена, якщо скористатися деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля. У цьому параграфі буде встановлена одна з таких загальних теорем — теорема Гауса.

Теорема Гауса має для теорії поля і принципове значення. Справа в тому, що математична форма закону Кулона відповідає ідеї далекодії (силова дія двох зарядів на відстані). Теорема Гауса дасть можливість перейти до диференціальної форми основних рівнянь електростатичного поля, завдяки чому і форма рівнянь електростатики буде узгоджена з теорією близькодії.

У теоремі Гауса розглядається потік напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню. Нагадаємо поняття потоку. Нехай у полі взято елементарну площадку dS i проведено одиничний вектор n

нормалі до цієї площадки. Потоком вектора E через площадку dS у напрямі нормалі n називають величину

dN=E_n dS (3.1)

тобто добуток нормальної складової вектора на площу dS. Потік може бути додатним або від'ємним залежно від того, додатна чи від'ємна проекція Е_n (мал. 5). Потік напруженості N через замкнену поверхню S є сумою елементарних потоків, тобто:

(3.2)

де інтеграл поширюється на всю замкнену поверхню S. У формулі (3.2) Е_n є проекція напруженості на зовнішню, нормаль до поверхні S.

Розглянемо найпростіший випадок: припустимо, що поле, створене ізольованим позитивним точковим зарядоме і, що поверхня є сфера, радіусом r, в центрі якої розміщений точковий заряд. Чому дорівнює потік N через таку поверхню?

Відповісти на це питання легко, оскільки величина напруженості Е в кожній точці поверхні дорівнює k·e/r^2, а його напрям співпадає із зовнішньою нормаллю до поверхні. Таким чином, ми маємо

N=E·(всю площу)= k·e/r²·4πr²=1/εε₀·e

Як бачимо, потік не залежить від розмірів сфери. Можна показати, що потік N через замкнуту поверхню не залежить від її розмірів і форми.

Для строгого доведення теореми Гауса обчислимо спочатку потік напруженості поля окремого точкового заряду. Якщо заряд е розміщений у точці О на відстані r від площинки dS, то елементарний потік напруженості дорівнюватиме:,

dN=E_n dS =EcosφdS (3.3)

де φ—кут між напрямами векторів E i n (мал. 6). Скориставшись формулою (2.3), знайдемо:

(3.4)

Побудуємо конус з вершиною в точці О, твірні якого мають за основу точки контуру елементарної площинки dS. Цей конус вирізує на поверхнях двох концентричних сфер з радіусами r i l, центри яких містяться в точці О, елементарні площинки dΣ і dΣ'^′ відповідно. Кут між площадками dS і dΣ дорівнює φ — кутові між нормалями до цих площинок. Площадку dΣ можна розглядати як проекцію площадки dS на поверхню сфери; тому маємо рівність:

dΣ= dScosφ (3.5)

Але площі сфер відносяться як квадрати їх радіусів, тобто

(3.6)

де через dω позначено спільне значення написаних відношень: dω приймають за величину тілесного кута, під яким видно елемент dS з точки О. Використавши співвідношення (3.5) і (3.6), перепишемо елементарний потік напруженості (3.4) у вигляді

(3.7)

Домовимось тілесний кут dω вважати додатним тоді, коли кут φ між напрямами векторів E і n гострий, і від'ємним, якщо кут φ тупий. При цій умові формула (3.7) справедлива для обох можливих виборів напряму нормалі n до площинки dS, яка до того ж може бути орієнтована в просторі цілком довільно.

Ми знайшли елементарний потік dN, і тепер можна приступити до обчислення потоку напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню. При цьому нам доведеться роз­глядати два можливі випадки розміщення заряду відносно поверхні.

а) Точковий заряд е міститься всередині замкненої поверхні S. Конус з вершиною в точці О і з тілесним кутом dω вирізує на поверхні S непарну кількість елементарних площадок dS (на мал. 7—три: dS₁, dS₂, dS₃). Потоки напруженості поля через ці площинки в напрямі зовнішньої нормалі до поверхні S, згідно з (3.7),за величиною всі рівні, але їх знаки чергуються: dN₁>0, dN₂>0, dN₃>0.

Кількість елементарних площадок може бути більшою за три; взагалі dN_k>0 для тих площадок dS_k які видно з точки О з внутрішнього боку поверхні S, і dN_k<0 для елементів dS_k, які видно з точки О з зовнішнього боку поверхні. Тому сума потоків напруженості поля через усі площинки, вирізані на поверхні S елементарним конусом, дорівнює потокові через першу площадку dS₁ і за формулою (3.7) знаходимо:

Додаючи потоки для всіх елементарних конусів із спільною вершиною в точці О, знайдемо:

(3.8)

тому що повний тілесний кут дорівнює 4π стерадіанів.

Отже, якщо заряд, що створює поле, міститься всередині замкненої поверхні S, то потік напруженості електростатичного поля через поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній величині заряду, поділеній на електричну сталу.

Цей результат легко поширити на випадок, коли електроста­тичне поле створюється довільною кількістю точкових зарядів e₁, e₂, . . . , розміщених усередині поверхні. Дійсно, складова на­пруженості поля вздовж напряму нормалі n дорівнює алгебраїчній сумі складових, зумовлених кожним із зарядів; тоді потік дорівнюватиме:

dN=E_ndS=(E_1n+ E_2n+…)dS= E_1ndS+ E_2ndS+...,

або

dN= dN₁+ dN₂+...,

Інтегруючи цю рівність по довільній замкненій поверхні, знайдемо:

N = N₁+ N₂+…,

і, згідно з (3.8),

(3.9)

б) Точковий заряд е міститься зовні від замкненої поверхні S. Тоді кількість площадок dS_k вирізаних на поверхні S елементарним конусом, парна. Тому для кожного елементарного конуса потік dN дорівнює нулю, бо він є сумою парного числа однако­вих за величиною доданків, знаки яких чергуються. Потік напруженості через усю замкнену поверхню S дорівнює, очевидно, теж нулю:

Мал.7

N=0 (3.10)

Отже, у випадку, коли точковий заряд (або довільна їх кількість) міститься зовні від замкненої поверхні S, потік напруженості електростатичного поля через цю поверхню дорівнює нулю.

Обидва розглянуті випадки (заряди всередині поверхні і заряди поза поверхнею) охоплюються однією формулою:

(3.11)

де e₁, e₂, . . . ,e_n—тільки ті заряди, що містяться всередині поверхні.

З (3.11) і випливає формулювання теореми Гауса:

потік N вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній сумі тих зарядів е_i які містяться всередині поверхні, поділеній на електричну сталу ε₀.

Теорема Гауса поширюється також на випадок, коли електростатичне поле створено не точковими, а довільними об'ємними або поверхневими зарядами. Справді, такі заряди можна роздробити на сукупність елементарних зарядів ρ_i△v_i, і σ_i△S_i. Застосувавши рівність (3.11) до цієї сукупності зарядів, знайдемо:

Перейдемо до границі при умові △v_i→0 i △S_i→0 ; тоді дістанемо:

(3.12)

Згідно з теоремою Гаусса потік вектора напруженості поля Е через замкнену^; поверхню може бути відмінним від нуля тільки тоді, коли всередині поверхні є заряди. Позитивному заряду відповідає додатний потік напруженості, негативному — від'ємний. Отже. заряди є своєрідними джерелами і стоками потоку напруженості поля, або, коротше, джерелами поля (додатними чи від'ємними).Усе це можна унаочнити, проводячи в полі силові лінії, які наче виходять з позитивних зарядів і входять у негативні. Тому позитивні заряди можна розглядати (умовно) як джерела поля, а негативні — як його стоки. Наочну геометричну модель силових ліній поля можна поглибити ще й далі, домо­вившись про певну густоту ліній; це приводить до поняття силових трубок.

Приклад 1, Напруженість поля, рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нехай електростатичне поле створено поверхневими позитивними зарядами, розміщеними із сталою густиною σ на нескінченній площині. З міркувань симетрії зрозуміло, що лінії напруженості поля перпендикулярні до площини і напрямлені від неї.

Мал.8

Визначимо величину напруженості поля в точці А, яка лежить на відстані а від площини.

Застосовуємо теорему Гауса до потоку через поверхню циліндра, зображеного на мал.8 (основи циліндра рівновіддалені від зарядженої площини, а твірні перпендикулярні до неї). Величина напруженості поля на обох основах однакова. Очевидно, потік напруженості поля через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, бо лінії напруженості паралельні бічній поверхні. Тому повний потік N складається з рівних за величиною потоків через дві основи циліндра. Обидва ці потоки додатні і кожний з них дорівнює добуткові величини напруженості Е на площу основи S:

N=N₁+N₂=ES+ES=2ES

За теоремою Гауса потік N дорівнює зарядові σS, розміщеному всередині циліндричної поверхні, поділеному на ε₀₀;

звідки шукана напруженість Е- дорівнюватиме:

мал.9

(3.13)

Виходить, що величина напруженості Е не залежить від відстані точки А до площини. Тому скрізь, справа і зліва від нескінченної зарядженої площини, електричне поле однорідне.

Звернемо увагу на те, що поверхневий заряд σ площини зумовлює стрибок нормальної складової напруженості (мал. 9) на величину:

(3.14)

Якщо площина заряджена негативно, напруженість поля напрямлена скрізь до площини.

Приклад 2. Поле двох нескінченних паралельних площин, заряджених різнойменними зарядами з густиною +σ і -σ . Напруженість поля двох площин можна обчислити геометричним додаванням напруженостей полів окремих площин. Очевидно, напруженості полів обох площин у просторі між ними напрям­лені в один бік, так що повна напруженість дорівнюватиме:

(3.15)

У просторі поза площинами напруженості, створювані окремими площинами, за абсолютною величиною рівні, але протилежно напрямлені. Тому повна напруженість у просторі поза площинами дорівнюватиме нулю:

Отже, при двох паралельних різнойменно заряджених (з однаковою поверхневою густиною)

нескінченних площинах електростатичне поле існує тільки між ними.

Додаток

Використовуючи векторну теорему Гауса, рівність (3.12) можна переписати:

Остання рівність повинна мати місце незалежно від вибору від вибору області інтегрування V, що можливе лише у тому випадку, коли підінтегральні вирази дорівнюватимуть один одному в кожній точці простору:

Можна сказати, що дивергенція електричного поля міняється в тих і тільки в тих точках поля, в яких знаходяться електричні заряди.

Таким чином, можна зробити висновок, що електростатичне поле створюють електричні заряди, тобто електричні заряди є причиною (джерелом) електричного поля.