12. Нестійкість електростатичних систем. Теорема Ірншоу.

Для електронної теорії будови матерії дуже важливим є питання про можливість стійких конфігурацій електричних зарядів. Якщо матерія складається з електричних зарядів - електронів і протонів, то виникає питання , чи може система таких зарядів знаходитися у стійкій статичній рівновазі, а чи в атомах і молекулах всіх тіл заряди ці повинні знаходитися в стані неперервного руху ?

Для наших цілей цілком достатньо буде довести нестійкість статичної системи точкових зарядів, хоча відповідні положення прийнятні і до зарядів об'ємних.

З теоретичної механіки слідує, що система буде перебувати в стійкій рівновазі, якщо є мінімум потенціальної енергії. В попередніх параграфах було показано , що для електростатичних систем роль потенціальної енергії відіграє енергія їх взаємодії

(1)

Оскільки

,

то енергія W є функцією координат (x_i, y_i, z_i). Для того, щоб при відповідних значеннях координат функція W мала мінімум, необхідно, по - перше, щоб перші похідні W по всіх координатах всіх зарядів перетворювалися в нуль, а по - друге, щоб другі похідні від W по координатах були додатними, тобто: .

1. ¶W/¶x_i, ¶W/¶y_i, ¶W/¶z_i

2. ¶²W/¶x²_i > 0, ¶²W/¶y²_i > 0, ¶²W/¶z²_i > 0,

Розглянемо суму інших похідних

Ѳ(1/R) = 0 оскільки 1/R-фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа.

Таким чином, вимога, щоб всі інші похідні W по координатах були додатними, не виконується; енергія W не має мінімуму, і тому, стійка статична конфігурація електричних зарядів неможлива. Це положення носить назву теореми Ірншоу.

Фізичний зміст цієї теореми стане зрозумілим, якщо ми згадаємо, що різнойменні заряди притягуються із зростаючою силою аж до співпадання одного з одним; тобто до взаємної нейтралізації або знищення, однойменні не відштовхуються аж до віддалення в нескінченість.

Для ілюстрації теореми Ірншоу розглянемо простий приклад. Система 3-х зарядів(q₁ = -4e, q₂ = e, q₃ = -4e), як легко переконатися, буде знаходитися в стані статистичної рівноваги, якщо ці заряди будуть розміщені на одній прямій у вказаному порядку і якщо віддаль між q₁ i q₂ = віддалі r₂₃. Однак, при найменшому зсуві, наприклад, заряду q₁ в сторону q₂ , притягання з боку заряду q₂ зросте більше, ніж відштовхування з боку заряду q₃. Таким чином сили між q₁, q₂ i q₃ вже не будуть зрівноважуватися: заряди q₁ i q₂ притягнуться один до одного, а q₃ відлетить в сторону, в нескінченість.

Додаток.

Якщо скористатися формулою (7) для одного заряду, то ми прийдемо до висновку, що частинка (електричний заряд, наприклад, електрон) повинна мати " власну" потенціальну енергію, яка дорівнює qφ/2, де φ - потенціал поля , який створений зарядом в місці, де знаходиться сам заряд. Але заряд - точковий (з точки зору СТВ елементарна частинка повинна розглядатися як точкова) . Тому φ|_{R→ 0} → ∞

Таким чином згідно електродинаміки електрон мав би мати нескінчену "власну" енергію, а значить і нескінчену масу.

Фізична беззмістовність цього результату показує, що вже основні принципи самої електродинаміки приводять до того, що її застосування повинно бути обмежене певними границями..

Таким чином, електродинаміка як логічно замкнута фізична теорія стає внутрішньо-протирічивою при переході до досить малих розмірів. Можна поставити питання про те, який порядок величини цих віддалей. Можлива відповідь : для власної електромагнітної енергії електрона треба було б отримати значення порядку величини енергії спокою mc² . Якщо, з іншого боку, електрон має розміри ≈R₀ , то його власна потенціальна енергія мала б бути порядку e²/R₀ .

R₀ — " радіус" електрона.

Вираз для енергії (7) складається з двох частин: по -перше, власної енергії зарядів, і по - друге - частини енергії, яка залежить від розміщення зарядів. Лише ця частина, напевне, і має фізичний інтерес.