4.Теорема і вектор Умова—Пойтінга. Імпульс електромагнітного поля

Система рівнянь ЕМП (1)-(4) набуває певного фізичного змісту лише в тому випадку, коли буде точно вказано, в яких явищах, доступних спостереженню і вивченню експериментально, і яким саме чином виявляється існування ЕМП, бо людина не може безпосередньо сприймати це поле (за винятком особливих випадків, наприклад, поля світлової хвилі).Ми можемо зробити висновок про існування ЕМП лише по виникненню чи зникненню, тобто перетворенню доступних нам форм енергії (наприклад, теплової чи механічної ).Керуючись законом збереження і перетворення енергії, ми робимо висновок, що це виникнення чи зникнення відомої нам форми енергії мусить відбуватися за рахунок перетворення деякої іншої форми енергії, яку ми називаємо енергією ЕМП.

Таким чином, лише в тому випадку, коли ми встановимо певну залежність тої енергії від напруженості поля сукупність рівнянь (1)-(4) (але не кожне зокрема) стане доступним.

Припустимо, що в деякому об’ємі V розподілені заряди і існує ЕМП. Така система описується рівняннями Максвела.

Запишемо (1)-(2) рівняння:

(1)

(2)

Домножимо скалярно перше рівняння на H, а друге-на E; віднімемо від другого перше:

Використаємо умову (співвідношення) векторної алгебри:

div[ab]=b rot a-a rot b

у нашому випадку b≡E; a≡H

тоді

(3)

(3')

Введемо таке позначення:

S=[EH](4)

Вектор S називається вектором Умова-Пойтінга.

Тоді (3') перепишеться:

(5)

Проінтегруємо (5) по об’єму V

(5')

Джоулeва теплота, що виділяється струмами в об’ємі P=∫jEdV, тому (5') можна переписати:

∂W/∂t = -P-∫Sdσ

Зміна енергії електромагнітного поля в об’ємі відбувається за рахунок роботи струмів провідності в цьому об’ємі і потоку енергії через поверхню, що обмежує об’єм.

Розглянемо 1-й інтеграл у формулі (5):

Використаємо, що j=ρv, дійсно:

Тоді

(6)

Зліва ми маємо роботу за одиницю часу, тому рівняння описує закон зміни енергії.

Інтеграл у правій частині:

(7)

dσ- елемент поверхні

Враховуючи (6),(7) рівняння (5') перепишеться:

(8)

Цю рівність можна переписати:

∂W/∂t=-∂/∂t∑ε_кін-∫ Sdσ

Зміна енергії електромагнітного поля в об’ємі відбувається за рахунок зміни кінетичної енергії частинок (разом з енергією спокою) в цьому об’ємі і потоку енергії через поверхню, що обмежує цей об’єм.

Введемо позначення:

(9)

w—густина енергії електромагнітного поля.

(10)

Треба утворити замкнуту систему. Проінтегруємо по повному простору, тобто V→∞ (поки існує поле). На поверхні, яка обмежує поле , E→0 і H→0, як 1/R²,а площа σ пропорційна R²,тому весь інтеграл по поверхні пропадає (→ 0; поле на нескінченності дорівнює нулю)

Тоді:

(11)

Для замкнутої системи ,яка складається з ЕМП разом з частинками, які знаходяться в ньому ,зберігається величина, яка стоїть у фігурних дужках:

(12)

Перший член у цьому виразі –це кінетична енергія ( разом з енергією спокою частинок ), другий член –це енергія електромагнітного поля.

При інтегруванні по деякому скінченому об’ємі поверхневий інтеграл не зникає, тому необхідно користуватись співвідношенням (10), де тепер у першому члені у дужках сумування проводиться лише по частинках, які знаходяться у розглядуваному об’ємі.

Теорема Пойтінга :

Зліва стоїть зміна повної енергії поля і частинок за одиницю часу. Тому інтеграл ∫Sdσ треба розглядати як потік енергії через поверхню, яка обмежує даний об’єм, тобто що вектор Умова-Пойтінга S є густина цього потоку, - тобто кількість енергії поля, яка протікає за одиницю часу через одиницю поверхні.

Коли Sdσ >0 енергія всередині об’єму зменшується, при Sdσ <0 - збільшується.

Поряд з енергією ЕМП має місце і імпульс, який розподілений у просторі з певною густиною. Вираз цієї густини через напруженості поля може бути може бути встановленим з допомогою доведення, аналогічному до проведеного для енергії:

(13),

де величина

(14)

називається імпульсом ЕМП. Поняття імпульсу довгий час вживалося тільки до механічного руху тіл і частинок речовини. Потім виявилося, що він властивий і іншим формам руху матерії.

Імпульс електромагнітного поля.

Нехай поле діє на об’ємні заряди, розміщенні в просторі з густиною ρ, і струми з об’ємною густиною j. На заряди і струми одиничного об’єму діє сила:

f=qE+[jB] (1)

Тоді повна сила:

(2)

Як відомо сила визначається зміною з часом імпульсу речовини, що є в об’ємі

F=dP/dt(3)

Підставивши в перше рівняння значення відповідних величин з рівняння Максвелла отримаємо:

(4)

Взявши до уваги, що

добавимо до першої частини рівняння (4) рівний нулю вираз HdivB і перетворимо останній член так :

.

Тоді

(5)

Складова сили по осі х дорівнює:

(6)

Підставивши відповідні значення величин перейдемо до складової загальної сили по осі х:

(7)

Складові по інших осях записуються аналогічно. Замінимо в виразі (7) силу F її виразом з (3) і перетворимо останній інтеграл по формулі Остроградського-Гауса:

Перейшовши від складових до векторів можна записати:

(8)

Якщо на поверхні , яка охоплює об’єм , вектори E,H рівні нулю , то повна сила рівна нулю. Ця умова виконується, якщо поверхня інтегрування віддалена на нескінченність, а всі заряди і струми локалізовані в обмеженому об’ємі. Тоді

(9)

а звідси слідує:

,(10)

Таким чином, при взаємодії зарядів та струмів у певному об’ємі з електромагнітним полем зберігається не імпульс речовини P , а його сума з вектором S/c² , який має розмірність імпульсу. Цей інтеграл виражає імпульс ЕМП в об’ємі V, а вектор: q= S/c²- його об’ємну густину.

Закон збереження імпульсу виконується строго тільки в тому випадку , коли поряд з механічним імпульсом речовини буде врахований і імпульс електромагнітного поля.