7. Розсіювання електромагнітних хвиль зарядами.
Будемо розглядати розсіювання вільними зарядами.
Якщо на систему зарядів падає електромагнітна хвиля, то під її впливом заряди починають рухатися прискорено , а значить вони будуть випромінювати електромагнітні хвилі в усі сторони. Буде відбуватись розсіювання падаючої електромагнітної хвилі.
Розсіювання зручно характеризувати відношенням кількості енергії, яка випромінюється розсіюючою системою в даному напрямку за одиницю часу до густини потоку енергії падаючої хвилі. Це відношення має розмірність площі і називається ефективним перерізом розсіювання (або просто перерізом розсіювання).
Нехай dJ- енергія, яка випромінюється системою в тілесний кут dΩ при падінні на неї хвилі з густиною енергії Умова-Пойтінга S. Тоді переріз розсіювання дорівнює
dσ=dJ/S(1)
Інтеграл dσ по всіх напрямках буде визначати повний переріз розсіювання.
σ=∫dσ(2)
Розглянемо ефективний переріз розсіювання одним зарядом. Хай на цей заряд падає плоска монохроматична лінійно поляризована хвиля. Її електричне поле можна записати у вигляді:
(3)
Сила з боку падаючої хвилі на заряд буде сила Лоренца:
(4)
Швидкість , з якою починає рухатись заряд набагато менша швидкості світла, тобто v/c <<1, тому основний вклад в силу (4) буде вносити лише перший член, тобто
f=eE(5)
Тоді можна зазначити, що ця сила (5) надає заряду прискорення і рівняння руху можна представити у вигляді:
;
(6)
Дипольний момент заряду d=er і тому
(7)
Для обчислення розсіяного випромінювання скористаємось формулою для дипольного випромінювання (система Гауса)
(8),
де dΩ- тілесний кут. В сферичній системі координат n - одиничний вектор в напрямку розсіювання. dΩ=sinαdαdφ. Підставляючи (7) в (8) одержимо
(9)
Вектор Умова-Пойтінга задається формулою
(10)
Тоді ефективний переріз розсіювання задається у вигляді :
(11),
r0- класичний радіус електрона, де α- кут між напрямом розсіювання і напрямом електричного поля E падаючої хвилі. З формули (11) видно, що ефективний переріз розсіювання залежить від кутів і не залежить від частоти падаючої хвилі.
Обчислимо повний переріз σ. Для цього виберемо напрям E за напрямок полярної осі.
(12)
Формула (12) називається формулою Томпсона.
З формули (12) слідує , що повний переріз розсіювання є постійною величиною: не залежить ні від частоти, ні від кутів.
Експериментальна перевірка показала, що формула (11) описує розсіювання ЕМХ від довгих до коротких ( в області м’яких рентгенівських променів) і не виконуються для рентгенівських променів і випромінювання з короткими довжинами хвиль. Пояснюється це обмеженістю законів класичної електродинаміки. При взаємодії рентгенівського випромінювання з вільними електронами (для випромінювання електрон атома можна також вважати вільним) слід користуватися іншими, квантовими законами.
8. Реакція випромінювання
В попередніх параграфах ми бачили, що одиничний заряд, який рухається з прискоренням – випромінює , витрачає енергію на випромінювання.
Ми бачили, що поле випромінювання має не лише енергію, але і імпульс. Завдяки цьому, випромінювання супроводжується зворотньою дією випроміненого поля на частоту. Ця зворотня дія випроміненого поля на власний рух частки називається реакцією випромінювання або променевим тертям.
Баланс сил із урахуванням дії випромінювання повинен бути записаний у вигляді
(1)
де f- зовнішня сила, яка діє на частку, f3- сила реакції випромінювання, або сила променевого тертя.
Для обчислення сили f3 можна було б поступити наступним чином (по Гейтлеру):
Припустимо, що заряд, який випромінює, розподілений у просторі. Розіб’ємо його на елементи dq I dq'. Тоді можна розрахувати дію поля, яке випромінюється елементом dq'на елемент dq. Просумувавши після цього по всіх елементах dq'.i dq, ми знайдемо шукану повну силу. Описане обчислення досить громіздке, крім того, крім того воно може бути проведено на моделі, цінність якої з погляду сучасної квантової фізики досить незначна.
Тому ми розглянемо інший шлях обчислення. Вважаємо, що сила променевого тертя досить мала в порівнянні із зовнішніми силами. Коли заряд при випромінюванні втрачає енергію, то можна сказати, що воно йде на подолання деякої сили (сили реакції випромінювання).
Робота цієї сили за одиницю часу дорівнює енергії, яка виділяється зарядом за одиницю часу
(2)
знак ,,мінус” означає, що енергія зменшується.
З іншого боку цю зміну енергії можна розглядати як роботу сили реакції
(3)
За скінчений проміжок часу
(4)
Оскільки f3<<f, то наближено можна покласти:
(5)
Цим самим ми допускаємо, що хоча заряд випромінює, але рух його залишається гармонійним (період затухання дуже великий).
Допустимо, що заряд здійснює періодичний рух в проміжок часу t0-t1 Можна вважати, що в моменти часу t0 i t1 характеристики руху одні і тіж.
(6)
Обчислимо інтеграл в правій частині
(7)
Оскільки
,
то член
Тому
(8)
або
(9)
Виявляється, що сила реакції випромінювання залежить від прискорення. Оскільки ми припустили, що f3<<f, то під прискоренням a у формулі (7) потрібно розуміти прискорення частинки у зовнішньому полі сил, тобто a=f/m
Або
(10)
Оскільки f- періодична сила, ω- частота зовнішньої сили.
Умову f3<<f можна переписати:
або
(11)
або
звідси
або
або
(12)
- класичний радіус електрона r0~2,8·10-13см
Таким чином
>> r0(13)
При умові (13) справедливі закони класичної електродинаміки.
Якщо б припустити, що виконується обернена нерівність, тобто f3>>f, то рівняння руху мало б вигляд:
(14)
,
тому
Розв’язки цього рівняння
звідси
(15)
Формула (15) показує, що під дією гальмівного випромінювання прискорення, експоненціально зростає з часом, тобто частка само розганяється (самоприскорюється). Таке самоприскорення протирічить як законам класичної механіки, так і всім дослідним даним.
Може виникнути питання про те, яким чином електродинаміка, яка задовольняє закони збереження енергії, може привести до абсурдного результату, в якому вільна частка необмежено збільшує свою енергію.
Відповідь на це питання полягає у межах примінимості формули (14). Оскільки сила радіаційного тертя сама по собі приводить до протирічливих результатів, то вираз (14) можна застосовувати лише тоді, якщо ця сила виявляється малою в порівнянні з силою, яка діє на заряд з боку зовнішнього поля.