21. Метод відображень.

Розв’язуючи рівняння Пуассона ми переконались, що потенціал поля в принципі можна знайти в аналітичному виді, але безпосереднє застосування цих формул пов’язане з чималими труднощами навіть і в простих випадках. Знайти точні розв’язки вдається лиш для небагатьох найпростіших задач. Тому були розроблені також методи як експериментального вимірювання, так і наближеного їх обчислення, зокрема графічні методи.

Найпростішими методами точного розв’язування деяких типових задач електродинаміки є метод відображень.

Метод відображень використовують, коли потрібно знайти потенціал одного або кількох зарядів поблизу системи площин чи сферичних поверхонь. Іноді вдається підібрати таку систему зарядів, розташованих всередині провідника (тобто зовні тієї області, в якій ми шукаємо розв’язок), що створений ними потенціал задовольняє рівняння для потенціалу і граничні умови задачі. Звичайно, таких зарядів всередині провідника не існує. Утворюються лише поверхневі заряди, індуковані електричним полем. А той факт, що потенціал можна зобразити у вигляді точкових зарядів, свідчить, що дія індукованих поверхневих зарядів еквівалентна дії точкових зарядів всередині провідника.

Знайшовши таким спеціальним методом розв’язок задачі, ми маємо гарантію, що цей розв’язок є шуканим, оскільки він єдиний.

Приклад.

Точковий заряд (q) знаходиться на віддалі d від нескінченного провідника, який займає певний півпростір. Визначити поле в певному півпросторі і густину зарядів індукованих зарядом q на поверхні провідника.

Застосовуючи метод зображень, поставлену задачу формулюють дещо інакше.

А саме: нехай весь нескінченний простір

(включаючи і ту його частину, яка за початковою

постановкою задачі була зайнята провідником) заповнено однорідним діелектриком. Підберемо до заданого заряду q такий додатковий точковий заряд (q'), щоб із заданим зарядом (q) він утворював поле, для якого поверхня S виявилася б однією з еквіпотенціальних поверхонь поля. Бачимо, що для розв’язання поставленої задачі досить помістити в точку O', симетричну точці О відносно поверхні S , заряд

(q')=-q. Потенціал поля заряду q та його „зображення” q' дорівнює

(1)

де R,R' - віддалі від точки спостереження М до зарядів q і q'. У будь – якій точці на поверхні S відстані R і R' дорівнюють одна одній і за формулою (1) знаходимо, що в заданій точці φ = 0 тобто поверхня S дійсно є еквіпотенціальною.

Оскільки існує лише єдиний розв’язок поставленої задачі, а знайдений потенціал (1) задовольняє всі її умови в заповненому діелектриком півпросторі Ѳφ = 0 в усіх точках, крім точки О.

На нескінченності і на поверхні провідника потенціал φ=0, то функція (1) є шуканим розв’язком задачі.

Поверхневу густину σ електричного заряду, індукованого на поверхні провідника знайдемо за формулою

(2)

Для обчислення σ візьмемо початок координат у точці А(0,0,0) – точці перетину відрізка OO' з площиною S, і направимо вісь АХ по лінії АО. Потенціал поля (1) у будь – якій точці М(х,у,z) простору дорівнює

(3)

де d – відстань заряду від площини . Формулу (2) можна переписати:

(4)

Продиференціюємо:

Остаточно

(5)

Отже, поверхнева густина заряду індукованого на плоскій поверхні провідника великого розміру розміщеним поблизу цієї поверхні точковим зарядом, обернено пропорційна кубу відстані від заряду.