4.Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.

Густина енергії визначається співвідношенням (в системі Гауса)

.

Густина імпульсу електромагнітного поля

З формули (14) видно, що q~ w, 1/v², v

Імпульс для релятивістської частинки:

Таким чином, електромагнітні хвилі — це потік релятивістських частинок, що рухаються у вакуумі із швидкістю світла.

Додаток

В зв’язку з фундаментальним значенням питань, розглянутих вище, необхідні деякі методичні узагальнення.

В курсі середньої школи учні повинні засвоїти, що світлові хвилі є электромагнітними хвилями визначеної частоти. Перерахуємо факти які демонструють єдину природу світлових і електромагнітних хвиль:

1. Явища дифракції і інтерференції світла, відомі уже до появи теорії Максвела, вказували на хвильову природу світла. Як ми вже знаємо електромагнітне поле в визначених умовах також має хвильовий характер.

2. Швидкість світла у вакуумі с багаторазово вимірювалась, а її уточнення ведуться до даного часу. З другої сторони значення для швидкості електромагнітних хвиль у вакуумі ми одержуємо із теорії Максвела

.

Співпадання експериментального і теоретичного значень швидкості- пряма вказівка на те що світлові іелектромагнітні хвилі мають єдину природу.

3. Із геометричної оптики відомо, що якщо швидкість світла у вакуумі дорівнює с, а в середовищі-v, то відносний показник заломлення середовища n рівний: c/v . Для електромагнітних хвиль із теорії Максвела випливає, що

,

тобто n=√εμ. Співставляючи експериментальні дані з теоретичними при невисоких частотах, ми одержуємо майже однакові значення.

4. Світлова хвиля є поперечною. Це було відкрито на початку 19 ст. Світло може бути лінійно поляризованим або звичайним. Це ж саме стосується і електромагнітної хвилі.

5. Всі основні закони геометричної оптики можуть бути одержані із рівнянь Максвела для електромагнітних хвиль.

5 . Фазова і групова швидкості

Швидкість поширення хвиль v входить у вираз для фази хвильового коливання в розглянутій точці х:

Це рівняння, як вказувалося, описує строго монохроматичну хвилю. Для спостерігача, що рухається зі швидкістю v (наприклад, на визначеному «гребені» хвилі), фаза постійна:

Диференціюючи цей вираз за часом, одержуємо: v=dx/dt.

Таким чином, v—швидкість поширення визначеної фази коливання, тому вона називається фазовою швидкістю.

Реальна світлова хвиля, як указувалося, не є монохроматичною. Вона може бути представлена як суперпозиція ряду монохроматичних хвиль, довжини яких у випадку майже монохроматичної світлової хвилі мало відрізняються одна від одної. Швидкість поширення кожної з монохроматичних хвиль є фазовою швидкістю. При відсутності дисперсії (залежності швидкості від частоти), що має місце, наприклад, у вакуумі, у всіх цих хвиль фазова швидкість однакова. У диспергуючих середовищах фазові швидкості окремих монохроматичних складових хвилі неоднакові.

Питання про швидкість переносу енергії такою сукупністю (групою) монохроматичних хвиль можна з'ясувати при розгляді групи з двох монохроматичних хвиль різної (але дуже близької) довжини, що поширюються в диспергуючому середовищі з різними, але близькими фазовими швидкостями. На малюнку хвиля λ₁ передбачається трохи коротше хвилі λ₂ (λ₁< λ₂), а отже, при нормальній дисперсії v₁ < v₂. Жирною лінією зображена результуюча хвиля (група) у деякий момент часу. Область біля точки А, у якій фази обох складових хвиль збігаються, називають центром енергії, швидкість його переміщення і є груповою швидкістю. З переміщенням складових хвиль вправо утворений їхніми амплітудами O₁ і О₂ максимум O буде розпливатися, але зате ліворуч від них амплітуди 0'₁ і О'₂ утворять новий максимум, тому що О'₂ наздоганяє О'₁. Таким чином, центр енергії, поширюючись разом із групою вправо, відстає від кожної зі складових хвиль. Спостерігаючи з боку за цією групою хвиль, ми помітимо, що передні максимуми групи (перед центром енергії) стають усе менші і менші. Замість них утворяться нові максимуми, у зв'язку з чим уся група в цілому і її центр енергії переміщаються повільніше, ніж окремі складові хвилі.

Визначимо швидкість поширення центра енергії–групову швидкість u. Нехай у деякий момент часу в центрі енергії фази складових хвиль збігаються, тобто тут фаза не залежить від частоти ω (чи довжини хвилі λ, чи, нарешті, хвильового числа k), а отже, похідна від фази по ω (λ чи k) дорівнює нулю. Запишемо цю умову, використовуючи вираз для фази:

φ=ωt-kx

(1)

Виразимо звідси х:

. (2)

З формули (2) зрозуміло, що похідна dω/dk є груповою швидкістю u, тобто швидкість переміщення центра енергії:

u=dω/dk (3)

Її часто виражають через інші параметри хвилі. Виразимо фазу через довжину хвилі, використовуючи формулу ω=2π/T=2πν/λ:

;

,

звідси

.

Виконавши диференціювання, приходимо до так званої формули Релея

. (4)

Тотожність формул (3) і (4) можна легко перевірити. Похідна dν/dλ характеризує дисперсію в даному середовищі. З виразу (4) випливає, що при відсутності дисперсії (тобто при dν/dλ=0) фазова швидкість дорівнює груповій. Це цілком справедливо для вакууму. У повітрі і дуже багатьох речовинах (наприклад, у воді) дисперсія мала, тому фазова і групова швидкості в таких середовищах відрізняються дуже мало. У деяких речовинах дисперсія dν/dλ велика, тому між значення­ми v і u спостерігаються істотні відмінності. Майкельсон дослідним шляхом визначив показник заломлення сірководню n₁=1,75, тим часом як з теорії очікувалося n₂= 1,64. Аналіз показав, що Майкельсон мав справу з груповою швидкістю, а в теорії виходили з фазової швидкості:

u=c/n₁, v=c/n₂, v>u,

звідки

n₁ > n₂

В експериментальних методах визначення швидкості світла фактично завжди вимірюють групову швидкість. За допомогою формули Релея можна відразу перейти до значення фазової швидкості.

Спеціальна теорія відносності обмежує швидкість передачі сигналу швидкістю світла c, тобто обмежує значення групової швидкості. Величина фазової швидкості може перевищувати c (якщо показник заломлення n виявляється, як, наприклад, у плазмі, менше одиниці), але, оскільки сигнал передається не з фазовою, а з груповою швидкістю, що завжди менше c, протиріччя з теорією відносності не виникає.