7. Загальний розв’язок рівняння Пуассона

_{У попередньому параграфі було доведено, що визначення електростатичного поля зводиться до розв’язання рівняння Пуассона. Тому постає задача принципового значення: знайти загальний розв’язок рівняння Пуассона. Використаємо відому з векторного аналізу теорему Гріна:}

(1)

_{тут S - означає поверхню, яка обмежує об’єм V, а φ і ψ - дві довільні, але неперервні всередині об’єму V скалярні функції точки, які мають неперервні перші і другі похідні всередині цього об’єму.}

_{Поставимо собі задачу визначити значення електричного потенціалу φ в деякій точці поля P. Позначимо віддаль довільної точки поля від точки P через R. Виберемо в теоремі Гріна (1) (в системі Гауса)}

φ=1/R (2)

_{і приймемо до уваги, що}

Ѳ (1/R)=0 (3)

_{(це твердження доведіть вдома, врахувавши, що}

_{та використаємо рівняння Пуассона}

_{Підставляючи ці значення у формулу Гріна (1) одержимо}

(4)

_Звідси

_або

(5)

_{припустимо спочатку, що у всьому об’ємі V, який включає точку P і обмеженому поверхнею S, потенціал φ і його похідна є неперервними функціями точки. Скаляр}

_{φ = 1/R і його похідні неперервні і скінчені у всьому просторі, крім точки P.}

_{Оскільки теорему Гріна можна застосовувати лише до таких дільниць простору в яких обидва скаляри, φ і ψ, і їх похідні неперервні, то точку Р необхідно вилучити з області інтегрування V. Опишемо для цього навколо точки P сферу S0 довільного малого радіуса R0 і застосуємо формулу (5) до об’єму V', який знаходиться між зовнішньою поверхнею S і поверхнею S0:}

(6)

_{де індекс S+S0 біля знака поверхневого інтеграла означає, що інтеграл цей повинен бути поширений по поверхні S і S0. Розглянемо детальніше інтеграл по поверхні сфери S0. Зовнішня, по відношенню до об’єму інтегрування V', нормаль до поверхні сфери S0 спрямована до її центру і прямо протилежна радіусу вектора R. Тому на поверхні S0:}

(7)

_і

(8)

_{Використаємо ці значення в поверхневому інтегралі (6) і застосуємо так звану «теорему про середнє» інтегрального числення:}

(9)

_{де (¶φ/φR), φ деякі середні значення величині (¶φ/¶R) на поверхні сфери S0; Оскільки ∮dS дорівнює загальній поверхні сфери 4πR}²_{0 , то права частина рівняння (9) дорівнює}

(10)

_{Спрямуємо тепер до нуля радіус R0 , стягуючи сферу S0 в точку P . При цьому останній член виразу (10) прямує до нуля, а середнє значення потенціалу на поверхні нескінченно малої сфери можна прийняти рівним значенню потенціалу φP в її центрі P. Таким чином}

(11)

_{Отже, в границі R0→0 рівняння (6) приймає вид:}

_або

(12)

_{де об’ємний інтеграл може бути поширений на весь об’єм V , обмежений площею S , бо при R0→ 0 V' прямує до V , а підінтегральний вираз залишається скінченим і при}

_{R = 0}

_{Зауважимо, що хоча R і входить в знаменник підінтегрального виразу}

_{все ж цей вираз залишається скінченим в усіх точках поля об’ємних зарядів. Розглянемо, наприклад, вираз}

_{( * )}

_{івведемо систему сферичних координат R, θ, α з центром в досліджуваній точці ( θ - полярний кут, α- азимут). Елемент об’єму dV виразиться в цих координатах наступним чином}

_{і формула ( * ) набере вигляду}

(2*)

_{причому підінтегральний вираз залишається скінченим і при значеннях R = 0 .Перший інтеграл у (12) визначає потенціал, створений об’ємними зарядами, розміщеними в об’ємі V , який обмежений поверхнею S . Ті заряди, що містяться поза об’ємом V , у перший інтеграл не входять. Їх вплив на потенціал поля враховується поверхневим інтегралом у формулі (12), тобто виражається через значення потенціалу φ та його похідної ¶φ/¶n по нормалі до поверхні S .}

_{Тому об’ємний інтеграл у (12) слід розглядати як частинний розв’язок рівняння Пуассона, а поверхневий – як загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (рівняння Лапласа)}

_{Загальний розв’язок неоднорідного рівняння ( з вищої алгебри) дорівнює загальному розв’язку відповідного однорідного рівняння плюс частинний розв’язок неоднорідного рівняння.}

1. _{Якщо в певному об’ємі зарядів немає, то потенціал поля однозначно визначається лише граничними умовами по поверхні, що обмежує інший об’єм;}

2. _{Якщо всі заряди розміщені в об’ємі V ( за межами того об’єму вільних зарядів немає ), то поверхневий інтеграл дорівнює нулю;}

_{Дійсно, оскільки потенціал φ є однозначною функцією і перший доданок в (12) не залежить від вибору S ( бо всі заряди вже охоплені цією поверхнею), то й другий доданок (12) не може залежати від вибору S. Тому поверхню S в цьому випадку можна прийняти за сферу радіуса R і припустити , що R→ ¥ . Але для великих значень R маємо:}

_{і тому підінтегральна функція в поверхневому інтегралі прямо пропорційна 1/R}³_{, там часом , як поверхня сфери S прямо пропорційна R}² _.

_{Ми проходимо до висновку, що при інтегруванні по всьому простору (або по скінченому простору, що охоплює всі заряди) поверхневий інтеграл зникає.}

_Отже,

(13)

_{де інтеграл взято по всіх зарядах, то створюють поле.}

_{Можна довести, що та частина поля, яку в (12) описує поверхневий інтеграл, еквівалентний полю, створюваному зарядами, розміщеними з певною густиною на поверхні S. Таким чином загальний вираз для φ може бути представлений у виді:}

(14)