5.5. Математические знания

159

Армилла была изобретена только в начале I в. до н.э. и то со­ стояла лишь из двух колец. Это позволяло определять точки вос­ хода и захода светил, но не позволяло определять их координа­ ты. Для определения координат необходима армилла с четырь­ мя кольцами (два кольца для настройки на опорную звезду, а два — для наведения на измеряемую звезду). Но таких армилл в Древнем Китае не было. Поэтому даже в эпоху Средневековья в Китае отсутствовали звездные каталоги. Впервые они появи­ лись только в XVII в.

Тем не менее древнекитайские астрономы умели опреде­ лять дни весеннего и осеннего равноденствия, зимнего и лет­ него солнцестояния, знали о прецессии равноденствий, систе­ матически следили за солнечными и лунными затмениями (что не означает, что они умели их предсказывать), наблюдали кометы, сверхновые звезды. Им был известен 19-летний «метонов» цикл, позволявший хорошо согласовывать лунные и сол­ нечные календари. Систематические наблюдения за пятью планетами (они же — пять «стихий», соединение которых обу­ словливает все в космосе) позволили им достаточно точно оп­ ределить периоды обращения планет Марса, Юпитера, Сатур­ на вокруг Солнца. Еще в IV в. до н.э. они выделили Млечный Путь как особый космический объект.

В целом древнекитайская астрономия была практически ориентированной, вычислительной, нацеленной на решение конкретных задач, связанных с уточнением календаря. Теоре­ тические задачи геометрического и кинематического моделиро­ вания движения небесных тел (и на этой основе их объяснения) она перед собой не ставила. Эта область астрономического зна­ ния всецело была отдана на откуп философско-религиозным космологическим интерпретациям.

5.5. Математические знания

Общее направление становления математических знаний в древнейших цивилизациях Востока. В эпоху неолита и

160 Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

древнейших цивилизаций Востока математические знания развивались в следующих основных направлениях.

Во-первых, расширяются пределы считаемых предметов, появляются словесные обозначения для чисел свыше 100 — сначала до 1000, а затем до 10 000.

Во-вторых, образуются позиционные системы счисле­ ния. Это стало возможным благодаря совершенствованию умения считать не единицами, а сразу некоторым набором еди­ ниц (4, 5, чаще всего 10), и для каждого такого набора исполь­ зовать отдельный символ. Изобретение позиционных систем счисления — это выдающееся достижение древнейших циви­ лизаций, свидетельствующее о таком развитии мышления, ко­ торое позволяет свободно оперировать числами, отношения­ ми, абстракциями1.

В-третьих, формируются простейшие геометрические абстракции — прямой линии, угла, объема и др.

В-четвертых, зарождаются древнейшие математические науки — арифметика и геометрия, а также зачатки алгебры.

Для всех цивилизаций древности характерна единая ли­ ния становления математического знания. Как отмечают ис­ торики науки, «всем нужны были правила вычисления пло­ щадей полей, все сталкивались с вычислением длины окруж­ ности (обхват), всем требовался равноценный обмен одних предметов на другие, всегда полагалось произвести расчет объема земляных строительных работ. Все эти практические нужды давали материал для постановки математических за­ дач, которые на первых порах развития знания порождали сравнительно идентичные методы их решения, хотя и по внешнему оформлению методы могли казаться непохожими.

Вэтом отношении много общего в размышлениях древнего математика, в его подходе к решению проблем независимо от того, где он жил: в Древнем ли Египте, в Древнем ли Вавило-

1Как отмечал О. Нейгебауер, изобретение позиционной системы счисления «вполне можно сравнить с изобретением алфавита в противоположность исполь­ зованию тысяч иероглифов — картинок, предназначавшихся для передачи прямо­ го изображения того или иного понятия» {Нейгебауер О. Указ. соч. М., 2003. С. 21). Об истории чисел и систем счисления см.: MenningerK. Zahlwort und Ziffer. Gottin­ gen, 1957.

5.5. Математические знания

161

не, в Индии или в Китае»1. И действительно, практическая ос­ нова развития абстракций в математике была для всех народов единой. Прежде всего это развитие земледелия, отношений зе­ мельной собственности. Они требуют умения измерять расстоя­ ния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» — от древнегреческого «землемерие»). Разви­ тие строительного дела, гончарного производства, распределе­ ние урожая зерновых и т.д. требовали умения определять объ­ емы тел. В строительстве необходимо было уметь проводить прямые горизонтальные и вертикальные линии, строить пря­ мые углы, окружность и т.д. Натянутая веревка служила прооб­ разом представления о геометрической прямой линии. Если один конец веревки закреплялся колышком, то колышек на другом ее конце прочерчивал окружность, и др.

Одним из важнейших свидетельств освоения человеком геометрических абстракций является зафиксированный ар­ хеологами бурный всплеск использования геометрических ор­ наментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлечен­ ность начинает превалировать в художественной изобрази­ тельной деятельности, в передаче изображений животных, растений, человека.

Основная общая особенность и общий исторический недоста древневосточнойматематики — ее преимущественнорецептурн алгоритмический, вычислительныйхарактер. Прикладной, рецеп­ турный характер носила не только математика Древнего Востока, но и вся протонаука древности. Новое знание обобщалось из не­ посредственной практики и было ориентировано на утилитар­ но-прагматическое использование. Вместе с тем протонаука ци­ вилизаций Древнего Востока явилась глубинным истоком антич­ ной и эллинистической науки, влияние которой в свою очередь сказывалось вплоть до эпохи Возрождения.

Математика Месопотамии. На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Месопотамии. Как отмечал О. Нейгебауер, «развитие системы нумерации в Месопотамии потре­ бовало стольких же веков, как и развитие письменности от гру-

1 Березкина Э.И. О зарождении естественно-научных знаний в древнем Китае // Очерки истории естественно-научных знаний в древности. М., 1982. С. 186.

162	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

бого письма картинками до вполне развитой системы сложных знаков»1. В дальнейшем математика развивалась прежде всего как средство решения повседневных практических задач, воз­ никавших в царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычис­ ление объемов строительных и земляных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). После дли­ тельного периода количественного накопления простейших математических знаний в шумерский период их качественный всплеск произошел в период от 1800 до 1600 г. до н.э., в эпоху Древневавилонского царства (1894-1595 до н.э.).

Найдено более трех сотен клинописных математических текстов, представляющих собой либо тексты таблиц, либо тек­ сты задач. Математики Древней Месопотамии уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет раз­ ное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). В измерениях различных величин (даты, меры веса, пло­ щади и др.) применялись смешанные системы (10, 24, 12-рич- ные и др.), но в математических и астрономических контекстах последовательно применялась 60-ричная система счисления2.

Долгое время главным недостатком вавилонской позицион­ ной системы было отсутствие отдельного знака для нуля, поэтому только из контекста можно было определить абсолютное значе­ ние числа. Отдельный знак для нуля систематически использует­ ся вавилонскими математиками примерно с VI в. до н.э.

Расшифровка найденных текстов показала, что в древнемесопотамской математике были освоены операции умноже­ ния, определения обратных величин (деление осуществлялось через умножение на обратную величину), расчеты процентов по долгам, существовали таблицы с типичными задачами на вычисление (умножения, определения обратных величин, квадратов и квадратных корней, кубов и кубических корней,

1 Нейгебауер О. Указ. соч. С. 30. О шумерском периоде в развитии месопотамской математики пока нет никаких достоверных свидетельств.

2 Ее отголоском является современное использование 60-ричной системы для измерения небольших долей времени (минуты, секунды, а вот доли секунды изме­ ряются уже в 10-ричной системе). Разделение круга на 360 частей также возникло в вавилонской науке, но в поздний этап ее развития, в последние века до н.э.

5.5. Математические знания

163

сумм квадратов и кубов, необходимых для численного реше­ ния определенного типа кубических уравнений и др.), кото­ рые, по-видимому, заучивали наизусть1.

Историки математики подчеркивают высокое искусство вы­ числений древневавилонских писцов. 60-ричная система требо­ вала огромной таблицы умножения. Как с некоторой долей юмо­ ра отмечал О. Нейгебауер, одной только таблицы умножения в 60-ричной системе «в том виде, как она существовала в 1800 г. до н.э., достаточно, чтобы поставить вавилонян впереди всех вы­ числителей античного мира. Между 350 и 400 гг. н.э. Теон Алек­ сандрийский написал целые страницы объяснений в своих ком­ ментариях к 60-ричным вычислениям в "Альмагесте" Птолемея. Писец из управления имением какого-либо вавилонского храма за 2000 лет до Теона справедливо удивился бы, зачем тратится так много слов для объяснения столь простой техники»2.

Для древнемесопотамской математики характерен интерес к проблемам приближений. Частично это было связано с труд­ ностями операции деления (как умножения на обратную вели­ чину), когда остатком приходилось пренебрегать. И тем не менее именно в древнемесопотамской математике были осу­ ществлены первые шаги на пути математического анализа бес­ конечных арифметических процессов. Жителям Древнего Ва­ вилона были известны приближенные значения отношения диагонали квадрата к его стороне (корень второй степени из 2 они считали равным приблизительно 1,24; число π — прибли­ зительно равным 3,125).

И хотя на уровне шумерской математики задачи чаще всего формулировались не абстрактно, а через оперирование с кон­ кретными предметами, площадями, объемами и проч.3, вави­ лонская математика уже подняласьдо алгебраического уровня,

1 См.: Варден Б.Л. ван дер. Пробуждающаяся наука: математика Древнего Егип­ та, Вавилона и Греции. М., 1959.

2Нейгебауер О. Указ. соч. С. 48.

3По мнению A.A. Ваймана, в стереометрии «единственной фигурой, воспри­ нимавшейся в достаточной мере отвлеченно, был параллелепипед, все прочие — конкретные предметы, и прежде всего объекты строительства» (Вайман A.A. Шу- меро-вавилонская математика. М., 1969. С. 137), т.е. плошадь — «поле», объем — «земля, песок», емкость — «вода».

164	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и т.д.), а числом вообще, числом как абстракцией. Гео­ метрические задачи (например, теорема Пифагора) нередко получали теоретико-числовое выражение. По-видимому, древневавилонская математика развивалась в направлении ма­ тематического анализа общего понятия «числа». В ней сущест­ вовал и специальный термин для высокоабстрактного понятия «отношение», а отношение двух чисел рассматривалось как са­ мостоятельный объект. (Правда, нет данных о том, что древне­ вавилонским математикам было известно понятие простого числа.) Рост способности мыслительного абстрагирования обычно объясняется требованиями и уровнем школьного об­ разования: «Тип математики, созданный шумерами, в основ­ ном соответствует уровню хозяйственного развития. Этого нельзя сказать о математике, созданной вавилонянами... Чем же было обусловлено возникновение теоретического направ­ ления в вавилонской математике?.. Значительную роль должна была сыграть школа, роль которой в старовавилонское время, очевидно, особенно возросла... Так, для планомерного школь­ ного обучения математике необходимы были учителя, углуб­ ленно занимающиеся этим предметом, а одна из обязанностей учителя заключалась в составлении специальных математиче­ ских задач. Содержание задач подсказывалось не только прак­ тикой ведения хозяйства, но и некоторыми потребностями са­ мого школьного обучения. Последнее обстоятельство стиму­ лировало отрыв математики от практики. В частности, в результате этого и возник тот раздел математики, который мо­ жет быть отнесен к элементарной теории чисел... По-видимо­ му, возникновение теоретического направления в математике вавилонян было обусловлено еще и некоторыми специфиче­ скими особенностями математической системы, из которой вавилоняне исходили. Сюда можно отнести чрезвычайно удач­ ный вычислительный аппарат... на основе... 60-ричной систе­ мы исчисления. Вычислительная техника у древних египтян была намного менее совершенной, чем у вавилонян»1. Практи-

ВайманА.А. Шумеро-вавилонская математика. М., 1969. С. 208.

5.5. Математические знания

165

ка школьного образования здесь хотя и важна, но недостаточ­ на — необходимы были более широкие социально-экономиче­ ские условия для развития абстрагирования, прежде всего раз­ витие товарно-денежных отношений.

Историки математики обращают внимание на общую ал­ гебраическую направленность древневавилонской математи­ ки и вторичную роль в ней геометрических абстракций. Гео­ метрические задачи трактуются обычно как частный случай задач на численные отношения между конкретными предмета­ ми. Показательно также и то, что в древневавилонской матема­ тике «мы не имеем ни малейших признаков чего-либо напоми­ нающего "доказательство" соотношений между геометриче­ скими величинами»1. При этом характерно, что оперирование цифрами происходит безо всякой связи с реальностью: объем складывают с длиной тела, а количество людей — с числом дней, площади перемножаются с площадями, что не имеет ни­ какой геометрической интерпретации и проч., здесь «интере­ суются только алгебраическими соотношениями, совершенно также, какдля нашей алгебры не имеет значения, что означают буквы»2. У древних вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегреческой математике представления о числах как некоторой идеальной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром и подчиняющейся стро­ гим отношениям, выявление которых и является задачей мате­ матического познания. Поэтому вопросы о природе несоизме­ римых отношений, различии точных и приближенных вычис­ лений у них не вызывали мировоззренческих проблем.

Математики Древнего Востока даже не пытались доказы­ вать истинность тех вычислительных формул и геометриче­ ских соотношений, которые использовались для решения кон­ кретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписаний: «Делай так-то и так-то» («такова процеду­ ра»). Потому и обучение математике состояло в механическом зазубривании и заучивании веками не изменявшихся способов

1	Нейгебауер О. Указ. соч. С. 59.
2	Там же. С. 56.

166	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

решения типовых задач. Идеи математического доказательст­

ва в древневосточной математике еще не было.

Вместе с тем складывались предпосылки становления мате­ матического доказательства. Они состояли в процедуре сведе­ ния сложных математических задач к прошлым (типовым) за­ дачам, а также в таком подборе задач, который позволял осу­ ществлять проверку правильности решения. В сборниках задач того времени уже налицо стремление выделить общий метод решения задач, а не просто получить численный ре­ зультат.

«И если в текстах мы еще не находим ничего похожего на "доказательство" в формальном смысле слова, все же име­ ются все основания полагать, что открытие таких приемов решения, общность которых видна из частных применений к числовым примерам, не могло иметь места без хотя бы мини­ мального количества логических рассуждений...»1 Здесь так­ же были намечены шаги к чисто алгебраическим операциям, но алгебраические методы обозначений так и не были дос­ тигнуты. Это говорит о том, что операциональная состав­ ляющая мышления, еще не став самостоятельной (по отно­ шению к операндной его части), была не способна конструи­ ровать идеальные объекты, т.е. совершать операции над операциями.

Представим на современном математическом языке неко­ торые типовые задачи, которые могли решать вавилоняне.

Алгебра и арифметика:

о уравнения с одним неизвестным:

АХ = В; X2 =А; X2 +АХ = В\ Х2-АХ = В; Хъ =А; X2 (Х+ 1) =А;

осистемы линейных уравнений с двумя неизвестными:

XY = B,X+Y=A; XY=B,X-Y=A;

осистемы квадратных уравнений с двумя неизвестными:

X2	+ Y2=B,X+Y	= A\
X2	+ Y2=B,X-Y	= A\

1 Бурбаки H. Очерки по истории математики. М., 2007. С. 9.

5.5. Математические знания	167
о им были известны следующие формулы:
(А +Я)2 =А2 + 2АВ + В2\ {А+В){А-В)	=А2-В2
1+2 + 4 + - +2" = 2W+(2W-1);

l2 + 22 + 32 + -+JV2=(l/3+2JV/3)(l + 2+3+···+#);

о суммирование арифметических прогрессий.

Имеются тексты, содержащие задачи на определение пока­ зателей степени числа, что свидетельствует о приближении к понятию логарифма.

Геометрия:

опропорциональность для параллельных прямых;

отеорема Пифагора;

оплощадь треугольника и трапеции;

оплощадь круга * 3/?;

одлина окружности * 6R;

ообъем призмы и цилиндра;

ообъем усеченного конуса они считали по неправильной фор­ муле: (3R2 + Зг2)/2; на самом деле он равен (R2 - г2) π#/3;

ообъем усеченной пирамиды с высотой Я, квадратным верхним

(В)и нижним (А) основанием они определяли по неправильной формуле: (А2 + В2)Н/2\ на самом деле он равен (А2+АВ+В2)Н/3. (Зато правильная формула была известна древним египтянам.)

Общая оценка древневавилонской математики ясно и чет­ ко сформулирована О. Нейгебауером: «Каким бы неполным ни было наше знание вавилонской математики, без сомнения, ус­ тановлено одно: мы имеем дело с таким уровнем математиче­ ского развития, который во многих отношениях сравним с ма­ тематикой, скажем, раннего Возрождения. Однако не следует переоценивать эти достижения. Несмотря на численное и ал­ гебраическое искусство и несмотря на интерес к абстракции...

содержание вавилонской математики оставалось глубоко эле­

ментарным... Иными словами, вавилонская математика так и не перешагнула порога донаучного мышления»1. Древневави­ лонская математика — это еще не наука, а протонаука.

1 Нейгебауер О. Указ. соч. С. 62. См.: ВайманА.А. Шумеро-вавилонская матема­ тика. М., 1961; Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, 1967; Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.

168	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

Древнеегипетская математика. В Древнем Египте развитие математики в целом не достигло древнемесопотамского уров­ ня. Историки математики приходят к выводу, что «египетская математика не внесла сколько-нибудь заметного вклада в раз­ витие математических знаний... она сохранилась на относи­ тельно примитивном уровне»1.

Древнеегипетская арифметика отличалась двумя особен­ ностями. Во-первых, все действия в ней по существу своди­ лись к сложению (аддитивная математика). Умножение осуще­ ствлялось как последовательные удвоения (т.е. сложение числа с самим собой) и сложения. Например, чтобы умножить 25 на 18, они складывали результаты умножения на 2 и на 16. А умноже­ ние на 16 осуществлялось как четыре последовательных удвое­ ния:

1	25	8	200
*2	50	*16	400
4	100	Итого: 450

Что касается деления, то оно сводилось к умножению, т.е. поиску множителя, который в произведении с данным чис­ лом дает второе данное число. Например, чтобы разделить 18 на 3, нужно было удваивать 3 до тех пор, пока в итоге не полу­ чится 18. Если целого результата не получалось, то остаток записывался в виде дроби. При этом египтяне стремились оперировать в основном единичными дробями. А для умно­ жения единичных дробей (на 2, 3 и т.д.) существовали табли­ цы. Таким образом, во-вторых, широко использовались единичные дроби. Но такие арифметические приемы мало применимы там, где необходимы значительные вычисли­ тельные операции, например в астрономии. В частности, и поэтому египетская астрономия не была математизирована в той степени, в какой она была математизирована в Древнем Вавилоне.

Древние египтяне решали задачи, которые сводятся к ли­ нейным уравнениям с одним неизвестным: «Некое количест­ во, его 2/з> е г о х1г и е г о х/ъ сложенные вместе, дают 33. Какое

Нейгебауер О. Указ. соч. С. 84.

5.5. Математические знания

169

это количество? Ответ: 14 целых и 2*/97». Он записан в основ­

ных дробях: 14 + у4 + у97 + У56 + У679 + у776 + у194 + у388. Встречаются в древнеегипетских папирусах и задачи на гео­

метрические прогрессии: «в семи домах есть семь кошек, каж­ дая из которых поедает семь мышей» и т.д.

Уровень развития древнеегипетской геометрии в целом со­ ответствовал уровню месопотамской геометрии. В Древнем Египте умели вычислять площади треугольника, прямоуголь­ ника, трапеции и других фигур, которые можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для площади круга ис­ пользовалась формула S = (S/9D)2, где D - диаметр, a π = 3,16 (это лучшее приближение, чем у вавилонян).

Примерно так же обстояло дело и с определением объемов. Были формулы для определения объемов куба, параллелепи­ педа, цилиндра, усеченной пирамиды, причем все они рас­ сматривались совершенно конкретно — как сосуды для зерна или жидкостей.

Можно ли говорить о каком-либо влиянии египетской и ва­ вилонской математики на последующее развитие математиче­ ского знания? Такое влияние, безусловно, имело место. Оно проявилось во влиянии, во-первых, на древнегреческую и особенно эллинистическую математику и, во-вторых, на арабскую математику и через них — на средневековую европей­ скую математику.

Древнеиндийская математика. Уже в протоиндийской хараппской цивилизации (середина III - середина II тысячелетия до н.э.), которая достигла выдающихся успехов в градострои­ тельстве, закладывались основания математического знания. Ведь многие задачи практики требовали умения вычислять площади и объемы основных геометрических фигур. Правда, конкретно судить о состоянии этого древнейшего этапа ин­ дийской математики пока сложно, поскольку хараппская письменность до сих пор не расшифрована (среди ее 270 зна­ ков достаточно четко выделяются цифры). Найденные в архео­ логических раскопах простейшие измерительные инструмен­ ты (линейки, отвесы и др.) позволяют утверждать, что уже

170	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

тогда использовались десятичная и пятеричная системы счис­ ления. Если судить по уровню строительной практики, то хараппские строители, по-видимому, могли решать геометриче­ ские задачи на построение прямой, кривой, ломаной линий, прямого угла, квадрата, четырехугольника, окружности, куба, параллелепипеда, деление отрезка пополам, концентриче­ ских окружностей и параллельных прямых, деление круга по­ полам и др.

В ведийский период (1-я половина I тысячелетия до н.э.) обнаруживаются математические способы решения простей­ ших геометрических и арифметических задач, возникавших при строительстве храмов, алтарей, распределении сельскохо­ зяйственных продуктов и др. Так, в шульбасутрах («правила для постройки храмов и алтарей», VIII—IV вв. до н.э.) представ­ лены правила решения геометрических задач — на построение прямого угла, квадрата, прямоугольных треугольников с цело­ численными сторонами, преобразование прямоугольника в квадрат, построение квадрата, равного сумме или разности двух данных квадратов, и др. Здесь же содержались и способы решения арифметических задач — действий с целыми дробями, квадратных и неопределенных уравнений первой и второй сте­ пени, приближенного нахождения иррациональных величин, арифметических и геометрических прогрессий, элементы ком­ бинаторики. Вообще для древнеиндийской математики харак­ терно пристрастие к операциям с большими числами, что на­ шло свое отражение в легендах1.

Общих правил суммирования прогрессий тогда еще не зна­ ли, но некоторые частные методы нахождения сумм прогрес­ сий, по-видимому, уже были известны. В ведийский период древнеиндийские математики начали заниматься определени­ ем числа π (отношения длины окружности к диаметру).

1 Так, чрезвычайно популярна история о награде за изобретение шахмат, кото­ рая сводится к задаче о нахождении суммы геометрической прогрессии со знаме­ нателем 2. В «Махабхарате» встречаются числа до 10" (п = 17), санскритский язык содержал особые термины для всех целых степеней десяти до η = 21. В «Рамаяне» царю обезьян подчиняется 10" (п = 40) обезьян. Один год бога Брамы составлял 3 110 400 миллионов лет, а 36 000 миров последовательно создаются, живут и ру­ шатся в течение 100 годов Брамы!

5.5. Математические знания

171

В шульбасутрах встречаются утверждения, которые напомина­ ют отдельные положения «Начал» евклидовой геометрии — диагональ прямоугольника делит его на две равные части; пря­ мую можно делить на бесконечное число равных частей; пря­ мая, соединяющая вершину равностороннего треугольника с серединой противоположной стороны, делит его на две равные части; закономерность, которая впоследствии получила назва­ ние «теорема Пифагора» (есть основания для утверждения, что она была получена из теоретических соображений); паралле­ лограммы, построенные на одном и том же основании и между теми же параллельными линиями, равновелики; и др.

Расцвет древнеиндийской математики приходится на ку- шано-гуптскую эпоху, т.е. первые века новой эры. Выдающим­ ся достижением древнеиндийской математики является созда­ ние десятичной позиционной системы (с введением знака ну­ ля), которая через арабов проникла в средневековую Европу, а впоследствии как наиболее совершенная из всех существовав­ ших в древности завоевала весь мир1.

В отличие от геометрически ориентированной древнегре­ ческой математики древнеиндийская математика была ариф­ метически (алгебраически) ориентированной. И если совре­ менные школьные курсы геометрии уходят своими истоками в древнегреческую математику, то исторические корни школь­ ных курсов арифметики и алгебры — в древнеиндийскую. В частности, правила арифметических действий, которые изу­ чаются в современной школе, также были сформулированы древнеиндийскими математиками. Ими же была разработана развитая алгебраическая символика, более богатая, чем древ­ негреческая. Так, в Индии впервые начали применять особые знаки для нескольких неизвестных, для степеней, для свобод­ ного члена уравнения. (В качестве символов выступали слоги или буквы соответствующих санскритских слов.) Древнеин­ дийские математики начала новой эры умели производить все основные действия с простыми дробями, возводить числа в

1 Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. М., 1977. С. 22-30.

172	Глава 5. Протонаука древневосточных цивилизаций

квадрат и куб, вычислять простые и сложные проценты, извле­ кать квадратные и кубические корни; они заложили основы тригонометрии, в частности пользовались таблицей синусов, знали форму связи синуса и косинуса (sin2a + cos2a = 1) и др.

Виндийской математике получили распространение задачи на проведение операций в обратном порядке, например: «на­

звать число, которое, будучи умножено на 3, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на У3 ча~ стного, умножено само на себя и уменьшено на 52, после извле­ чения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10 даст 2».

Втрудах величайшего индийского астронома и математика Ариабхаты представлены решения неопределенных уравнений (в целых положительных числах) первой степени вида ах+ Ь = су. Более детальное решение этого уравнения представлено в тру­ дах Брахмагупты (VII в. н.э.). Начиная с Брахмагупты индий­ ские математики стали оперировать отрицательными числами. На этом пути индийские математики подошли к разработке теоретико-числовых проблем. Так, им был знаком «треуголь­ ник Паскаля» (треугольная числовая таблица для составления биноминальных коэффициентов). В дальнейшем им удалось найти решение в целых положительных числах общего неопре­

деленного уравнения второй степени с двумя неизвестными ах2 + Ь = у2к его важного частного случая ах2 + 1 = у2. Разработ­ ка методов решения неопределенных (диофантовых) уравне­ ний — одно из высших достижений древнеиндийской науки.

Число π Ариабхата определял как 3,1416, а более поздние ма­ тематики - Махавира (IX в.), Бхаскара Акарья (XII в.) довели эту точность до девятизначной десятичной дроби. Древнеин­ дийские математики начали осваивать операции с нулем и бес­ конечностью. Бхаскара показал, что х/ 0 = <χ>, а бесконечность, на что бы она ни делилась, остается бесконечностью: <χ> / χ = <χ>.

Вместе с тем древнеиндийская математика носит приклад­ ной, рецептурный характер. Математические сочинения обыч­ но представляли собой стихотворные тексты, содержавшие в поэтической форме изложение вычислительных приемов. Все это преподносилось читателю как набор операций, которые необходимо заучить назубок. Попытки теоретического доказа-

5.5. Математические знания

173

тельства математических утверждений, свойственные древне­ греческой математике, здесь отсутствуют. Они заменены принципом наглядности, образным интуитивным вдохнове­ нием. Так, в том случае, когда излагалось некоторое геометри­ ческое положение, оно могло дополняться чертежом, под ко­ торым без каких-либо объяснений ставили надпись «Смотри!».

Древнекитайская математика. Зарождение математических знаний в Древнем Китае относят к эпохе Инь (XVIII—XII вв. до н.э.). В эту эпоху был изобретен мультипликативный прин­ цип числовой записи (счет сначала десятками, затем сотнями, затем тысячами и т.д.), который постепенно развивался в пози­ ционную десятичную систему. Эта система отличалась от со­ временной тем, что не содержала знака для понятия нуля (роль нуля играла пустая клетка на счетной доске). Тогда же была разработана и специальная иероглифическая символика для чисел, освоено построение фигур циркулем, линейкой и тре­ угольником. В эпоху Инь накапливались математические зна­ ния для решения задач, необходимых в строительстве, при из­ мерении площадей и объемов, распределении продуктов и др.

О развитии древнекитайской математики в I тыс. до н.э. сви­ детельствуютдва основных источника: «Математический трактат о чжоу-би (солнечных часах)» (III в. до н.э.) и «Математика в де­ вяти книгах» (II в. до н.э.). Второй трактат - это своего рода мате­ матическая энциклопедия, которая была основным пособием по математике для китайских чиновников различных ведомств вплотьдо X в. н.э. В ней формулируются условия 246 задач разно­ го типа и представлены их решения. Прежде всего это задачи на определение площадей как прямолинейных фигур (прямоуголь­ ников, треугольников, трапеций и др.), так и криволинейных (круга, сектора, кольца и др.). Площади прямолинейных фигур вычисляются правильно, правда, единицей измерений служит не квадрат, а прямоугольник: 15x16 бу (бу — шаг, примерно равный 133 см), что весьма странно. При определении площадей криво­ линейных фигур принималось, что π = 3. Система счисления - десятичная иероглифическая. Широко используются простые дроби и арифметические действия с ними.

174	Глава 5. Πротонаука древневосточных цивилизаций
	Распространены были задачи на пропорциональное деле­

ние, что требовалось при взимании налогов зерном, его распре­ делении, а также определении стоимости предметов. Приводят­ ся задачи на суммирование отдельных арифметических про­ грессий, хотя общие правила не представлены. При решении задач на определение стороны прямоугольника по значению его площади и другой стороны, нахождение радиуса круга по его площади, радиуса сферы по ее объему формулируются правила извлечения квадратного и кубического корней (путем подбора).

Наряду с несомненными достижениями обращают на себя внимание и слабые стороны древнекитайской математики. Прежде всего отсутствовала четкая, объективная (не зависящая от субъекта) классификация плоских и объемных фигур. Клас­ сификация плоских фигур (частей поля) зависела от ориента­ ции наблюдателя относительно самого поля1. В этом ярко про­ является незавершенность процесса децентрации сознания, в сознании еще не выработаны операциональные процедуры, ко­ торые способны вводить поправки на позицию субъекта отно­ сительно предмета исследования. Показательно и то, что в древ­ некитайской математике был иероглиф для обозначения пло­ ской фигуры вообще («тянь» — поле в виде прямоугольника), а «поля другой формы: треугольные, трапециевидные, круглые - имели атрибутов: "косое поле", "круглое поле", "поле в виде совка" и т.п.... для пространственных тел также употреблялись соответственно "ширина", "длина", "высота" или "глубина". Последние слова позволяют судить о характере сооружения: на­ земное ли оно (стена, плотина) или речь идет о канале, яме для зерна и т.п.»2. Поэтому вполне закономерно и то, что в древ­ некитайской математике отсутствовал термин «сторона» (т.е. геометрические образы были еще преимущественно нагляд­ но-конкретными, даже такая простейшая абстракция, как «сто­ рона геометрической фигуры», не сформировалась), квадрат рассматривался как частный случай прямоугольника, а единица измерения площадей была неквадратичной (!).

1 См.: Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М., 1980. С. 240 и ел.

2Березкина Э.И. О зарождении естественно-научных знаний в древнем Китае.

С.188.