11.2. Математические достижения пифагореизма

347

Заслуги Пифагора перед мировой наукой понимали уже в античности. Так, по словам Прокла, заслуга Пифагора в том, что он «преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точ­ ки зрения»1; а Аристоксен в сочинении «Об арифметике» под­ черкивал, что Пифагор продвинул математику вперед, «осво­ бодив ее от служения делу купцов»2. Велик вклад пифагореиз­ ма и в становление естествознания, особенно астрономии и космологии.

11.2. Математические достижения пифагореизма

Основные направления математических исследова­ ний раннего Пифагорейского союза:

одоказательства тех положений, которые были получены в еги­ петской и вавилонской математике (включая и «теорему Пи­ фагора»);

оразработка теории пропорций, музыкальной теории (важней­ шие гармонические интервалы могут быть получены при по­ мощи отношений чисел 1,2,3 и 4), учение о «золотом делении» (целое так относится к своей большей части, как большая к меньшей) и др.;

опревращение арифметики из простого искусства счета в тео­ рию чисел.

Втеории чисел пифагорейцами была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы: совершенных чисел (число, равное сумме своих

собственных делителей, например 6 = 1 + 2 + 3); дружествен­ ных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284; ведь 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 21 + 22 + 44 +

1	Diels H. Die Fragmente der Vorsokratiker. 14 (4). A, 6 a.
2	Ibid. 58 (45). Β, 2.

348	Глава 11. Наука и философия «Великой Греции»

+ 55 + 110 = 284 и 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220); квадратных чисел, простых и др.

В эту эпоху стали также известны формулы суммирования простейших арифметических прогрессий и результатов, в со­ временном математическом языке выражающиеся формулой типа

£(2*-1) = л2.

к=\

Рассматривались также вопросы делимости чисел. Введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропор­ ции, а также различные средние: арифметическое, геометриче­ ское, гармоническое.

Наряду с геометрическим доказательством теоремы Пифа­ гора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т.е. чисел, удовлетворяющих со­ отношению Л2 + В2 = С2. Было открыто много математических закономерностей теории музыки, совершенствовались прие­ мы геометрического доказательства и т.д.

Важнейшим событием в истории пифагореизма (по-види­ мому, уже после смерти Пифагора) было открытие несоизме­ римости диагонали и стороны квадрата, равной единице (в со­ временном математическом языке иррациональное число V2). Иначе говоря, выяснилось, что части одной и той же геометри­ ческой фигуры не имеют общей меры (в то время как пифаго­ рейцы были уверены, что все числа и величины производны от одной и той же единицы измерения). Это открытие имело не только чисто научное, математическое, но и большое мировоз­ зренческое значение. С открытием несоизмеримости было об­ наружено, что хотя всякое натуральное число можно предста­ вить величиной геометрической (например, длиной линии, взяв какую-нибудь длину за единицу), но не всякую линию можно представить числом. Иначе говоря, учение о числовых пропорциях неприменимо к протяженным величинам, лини­ ям, отрезкам.

Философский смысл открытия несоизмеримости состоял в крахе общей идеи гармоничности, цельности, стройности,

11.2. Математические достижения пифагореизма

349

пропорциональности, измеримости, организованности кос­ моса. Под сомнением оказалась сама идея о том, что «мир есть число». В Пифагорейском союзе царила растерянность, назре­ вал скандал. Известна легенда о том, что члены Союза пыта­ лись замалчивать это открытие, не предавать его гласности. Открытие несоизмеримости стало поворотным пунктом в ис­ тории математики и по своему значению может быть сопостав­ лено с открытием неевклидовой геометрии в XIX в.

Геометрическая алгебра. Для решения проблемы несоизме­ римости надо было четко знать ответы на следующие вопросы: является ли неограниченной продолжительность процесса на­ хождения общей меры? Как выразить ее бесконечную малость? Как выразить то, что она должна содержаться бесконечное число раз в сравниваемых величинах? Теоретически были воз­ можны два способа решения.

Первый связан с обобщением понятия числа и включени­ ем в него более широкого класса математических величин (как рациональных, так и иррациональных). По этому пути матема­ тика пойдет много позже, в эпоху Возрождения.

Второй способ — геометризация математики, т.е. решение чисто алгебраических задач с использованием геометрических образов (геометрическая алгебра позволяет выражать как ра­ циональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку сово­ купность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, постольку такое исчисление можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра. Например, уравнение х2 = 2 не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в об­ ласти отношений чисел. Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков: его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для то­ го чтобы получить решение такого квадратного уравнения, из области чисел надлежит перейти в область геометрических ве­ личин. Геометрическая алгебра приложима не только к соиз­ меримым, но и к несоизмеримым отрезкам и, тем не менее, яв­ ляется точной наукой.

350	Глава 11. Наука и философия «Великой Греции»

Исходная абстракция геометрической алгебры - отрезок прямой. Все операции геометрической алгебры сводились к операциям с отрезками прямой. Сложение осуществлялось че­ рез приставление отрезков, вычитание — как отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение от­ резков приводило к построению площадей (произведением от­ резков А и Всчитался прямоугольник со сторонами А и В). Про­ изведение трех отрезков давало параллелепипед. Произведе­ ние большего числа сомножителей в геометрической алгебре не могло рассматриваться. Деление было возможно лишь при условии, что размерность делимого больше размерности дели­ теля, и выступало как задача приложения площадей.

С помощью методов геометрической алгебры можно было решать и задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, на­ пример:

опостроить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику;

оопределить «золотое сечение» отрезка, т.е. разделить отрезок а

на две части: Ьиа — b, удовлетворяющие соотношению a:b = b:

'•(a-b);

оопределить стороны правильных вписанных многоугольников и др.

Методы геометрической алгебры имели принципиальные ограничения: они позволяли определить только один, положи­ тельный корень квадратного уравнения; средствами построе­ ния были циркуль и линейка; объектами построения выступа­ ли геометрические образы размерности не выше второй; урав­ нения степени выше третьей в геометрической алгебре древних просто невозможны. В общем плане задачи на построение с по­ мощью циркуля и линейки имеют решение, если в заданной системе координат координаты искомой точки могут быть вы­ ражены конечным числом операций сложения, умножения, деления и извлечения корня.

Недостаточность геометрической алгебры как общей ма­ тематической теории несоизмеримых величин проявилась при выделении класса задач, не поддающихся решению с по­ мощью конечного числа построений прямых линий и окруж­ ностей.

11.2. Математические достижения пифагореизма

351

Задачи на удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга.

Среди задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки, наиболее известны задачи удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга1. Попытки их разрешения привели в дальнейшем к появлению и усовершенствованию новых пер­ спективных математических методов.

Например, задача о построении куба, имеющего объем вдвое больший, чем данный куб2, которая сводится к решению кубического уравнения х3 = 2аъ или равносильной ей задаче построения отрезка У2 и долгое время не поддавалась реше­ нию с помощью циркуля и линейки. Потребовался поиск но­ вых методов. Первые существенные результаты в решении за­ дачи удвоения куба получил Гиппократ из Хиоса (вторая поло­ вина V в. до н.э.). Он показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между ребром данного куба и линией вдвое большей длины. Ребро искомого куба определяется из пропорций а : χ = χ : у = у : 2а.

Это — задача о вставке двух средних пропорциональ­ ных. Данная система пропорций преобразуется в уравнение х3 = 2Û3. Сам Гиппократ не смог указать способ построе­ ния для нахождения средних пропорциональных. По сути речь шла об определении корней уравнения третьей степени, которое не может быть выполнено с помощью линейки и цир­ куля.

Как показал в IV в. до н.э. Менехм, решение этой задачи сводилось к построению геометрических мест х2 = ау,ху= ab, у1 = Ьх и определению точек пересечения двух из трех геомет­ рических мест (двух парабол х2 = ау,у1 =focили параболы х2 = ау и гиперболы ху = ab), которое получало стереометрическую интерпретацию как сечения конусов вращения. Так Менехм впервые решил геометрически уравнение 3-й степени.

1 В комедии Аристофана «Птицы» персонаж, изображавший астронома Метона («метонов» цикл), выходит на сцену вооруженный циркулем и линейкой и заяв­ ляет зрителям, что он готов им показать, как из круга сделать квадрат.

2 Эту задачу иногда называли делосской: по преданию, во время эпидемии чумы на острове Делос оракул Аполлона на вопрос, как отвратить бедствие, отве­ тил, что для прекращения эпидемии следует вдвое увеличить объем кубического жертвенника, не меняя его формы.

352	Глава 11. Наука и философия «Великой Греции»

Вместе с тем у древнегреческих математиков возник инте­ рес к коническим сечениям. Младший современник Гиппо­ крата Архит Тарентский (428—365 до н.э.) нашел еще одно ре­ шение этой задачи при помощи пересечения трех поверхно­ стей — цилиндра, конуса и тора1. Древние греки разрабатывали и приближенные методы решения задачи удвоения куба (Эратосфен, Герон)2.

Второй классической задачей древнегреческой математики была задача трисекции угла, т.е. разделения угла на три равные части. Решить ее с помощью циркуля и линейки можно было только в отдельных простейших случаях (например, для углов в 90° и 90°/ 2", где η - натуральное число). В общем случае задача не решалась с помощью циркуля и линейки.

В V в. до н.э. Гиппий из Элиды применил для ее решения новый метод — построение трансцендентной кривой. Такой кривой была квадратриса у = χ ctg πχ/2α. По существу в таких приемах зарождался метод пределов. Позднее Архимед пред­ ложил еще и метод «вставок», для которого требовалась линей­ ка с делениями. Он сводился к построению отрезка прямой, концы которого находятся на заданной линии и который про­ ходит через данную точку. Такое решение предполагало «меха­ нические» аналогии — линейка механически скользила вокруг неподвижной точки3. (Только в IX—X вв. в средневековой арабоязычной математике задача трисекции угла была сведена к решению кубического уравнения х3 + q = рх.)

Третья знаменитая задача древнегреческой математики — квадратура круга, т.е. построение квадрата, равновеликого данному кругу. Древнегреческие математики искали решение

1 Уравнения этих поверхностей можно записать: χ2 + у2 + ζ2 = χ 2/4; х2 + у2 =

= ах;х2 + у2 + z2=wx2 +У1. Если обозначить -JJC 2 + у2 + z2 = m, а ^х2 + у2 =п,

то из данных уравнений следует а: т = т: п = η :2а.

Только в 1837 г. П. Венцель доказал, что точное построение отрезка, равного Ψί, с помощью циркуля и линейки неосуществимо, поскольку кубические ирра­ циональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных иррациональностей.

·* Линейку вращали вокруг неподвижной точки так, чтобы одна метка двига­ лась по одной из заданных линий до тех пор, пока другая метка не попадала на дру­ гую линию. См.: История математики. Т. 1. М., 1970.

11.2. Математические достижения пифагореизма

353

этой задачи в двух направлениях. Первое — приближенное ре­ шение. На этом пути разрабатывались методы приближения площади круга вписанными или описанными многоугольни­ ками и приближенные вычисления числа π.

Второе — точные решения задачи с помощью циркуля и линейки. На этом пути удалось выявить ряд случаев, когда с помощью циркуля и линейки возможно преобразовать криво­ линейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную. В этом также велика заслуга Гиппократа Хиосского. Он нашел три фигуры, ограниченные дугами и хордами окружностей, для которых можно при помощи циркуля и линейки построить равновеликие им прямолинейные фигуры («гиппократовы луночки»). (Кстати сказать, ему принадлежит также первое (из известных нам) систематическое изложение геометрии, которое, по-видимому, было введено Евклидом в его «Нача­ ла» в качестве первых четырех книг.) В поиске методов реше­ ния задачи квадратуры круга древнегреческие математики выяснили, что эта задача может быть разрешима лишь через построение некоторых (как мы сейчас понимаем, трансцен­ дентных) кривых (в частности, квадратрисы Динострата - IV в. до н.э.).

Вобщем плане решение задачи квадратуры круга циркулем

илинейкой невозможно в силу ее трансцендентной природы. Если г- радиус данного круга, то сторона равновеликого квад­ рата а = гл/π. Такое умножение может быть только приблизи­ тельным. Ведь число π (а также л/π) не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не удовлетворяет никакому алгеб­ раическому уравнению с целыми коэффициентами. Этого древнегреческие математики не знали. Только в конце XVIII в. была доказана иррациональность числа π, и в конце XIX в. его трансцендентность (а значит, и числа >/π).

И тем не менее трудно переоценить значение этих трех зна­ менитых задач в истории математики. Благодаря грандиозным усилиям по их разрешению в древнегреческой математике бы­ ли разработаны методы, которые нашли свое полное развитие лишь в Новое время: метод конических сечений и метод исчер-

354	Глава 11. Наука и философия «Великой Греции»

пывания (как предпосылки метода пределов); основы общей теории отношений, приложимои как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин и др.

Среди выдающихся математиков пифагорейской школы следует выделить Феодора Киренского (вторая половина V в. до н.э.), который изучал явление несоизмеримости отрезков и выяснил, что стороны квадратов площадью 3, 5, 7, 11, 13, 17 квадратных единиц несоизмеримы как друг с другом, так и со стороной квадрата в одну квадратную единицу.

Наиболее выдающимся математиком пифагорейской школы был, очевидно, представитель позднего пифагореиз­ ма, друг Платона, государственный деятель, полководец, ученый Архит Тарентский (ок. 428—365 до н.э.), у которого, по современным оценкам, «наука преодолела не только ми­ фологию, но и саму философию»1. Архит дал более общее решение задачи удвоения куба, основанное на построении пересечения нескольких поверхностей вращения; впервые сформулировал ряд принципов механики и изобрел механиз­ мы — блок, винт и др.; создавал механические устройства (на­ пример, летающая модель голубя, приводимая в движение сжатым воздухом).

Вместе с тем в пифагорейской математике еще сильно влияние конкретно-вещественного отношения к числу: чис­ ло понимали пространственно, геометрически, структурно и фигурно. Числа изображались как упорядоченная совокуп­ ность точек. Математические абстракции здесь еще не отде­ лились от пространственных образов физических объектов. Единица — это не только число, абстракция, символ, но и некий физической объект, атом, монада. А число, большее единицы, - это некое пространство (линия, плоскость либо объем). Так, простые числа, которые нельзя разложить на множители, они называли линейными, т.е. соответствующие точки-единицы при изображении простого числа располага­ лись в линию. Сложные числа — те, которые разлагались на множители, изображались либо как квадраты, либо как пря-

ЧанышевА.Н. Италийская философия. М., 1975. С. ПО.