ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ ЭПОХИ ЭЛЛИНИЗМА

17.1. Александрийская математическая школа

«Начала» Евклида: гносеологические выводы. В куль­

туре эллинизма вопросы объективного устройства мира, за­ конов природы постепенно передаются от философии к кон­ кретным наукам. Конкретно-научное познание, и прежде все­ го естествознание, начинает обособляться от философского познания мира. Именно «в плавильном котле "эллинизма" развилась та форма науки, которая позднее распространилась повсеместно от Индии до Западной Европы и господствовала вплоть до создания современной науки во времена Ньютона»1. В эпоху эллинизма сложилась первая естественно-научная картина мира.

Наиболее обстоятельное развитие в древнегреческой куль­ туре получила математика. Именно в Древней Греции матема­ тика сложилась как особая отрасль научного познания, абст­ рактная дедуктивная наука, основанная на строгих доказатель­ ствах. Уже в V—IV вв. до н.э. в древнегреческой математике были разработаны геометрическая алгебра, теория делимости целых чисел и теория пропорций (Архит), метод «исчерпыва­ ния» Евдокса (как прообраз теории пределов), теория отноше­ ний Евдокса и др. Качественно новый этап в развитии матема­ тики связан с деятельностью александрийской математиче­ ской школы. У ее истоков стоял великий математик древности, педагог и систематизатор математической науки Евклид.

II О личности Евклида нам известно очень мало. Жил он в последней || четверти IV — первой четверти III в. до н.э. Учился в Афинах, затем

Нейгебауер О. Точные науки в древности. М., 2003. С. 17.

17.1. Александрийская математическая школа

511

переехал в Александрию. Здесь он открыл математическую школу, об учениках которой говорили, что они превзошли в своей области всех остальных математиков своего времени. Из школы Евклида вышел и самый великий математик древности Аполлоний Перг­ ский. Евклид подвел итог основным математическим теориям своего времени. В своем основном труде «Начала» (ок. 325 до н.э.), состоявшем из 13 книг, Евклид изложил все существенные дости­ жения древнегреческой математики в систематизированной аксио­ матической форме. Изучение геометрии в средней школе вплоть до

IIсамого последнего времени строилось на основе «Начал».

Впервых четырех книгах «Начал» излагается геометрия на плоскости, ее содержание восходит к трудам пифагорейской школы. В пятой и шестой книгах — теория отношений Евдокса Книдского. В седьмой, восьмой и девятой книгах — теория це­ лых и рациональных чисел, в основе своей разработанная еще пифагорейцами. В десятой книге — свойства квадратичных иррациональностей; в одиннадцатой книге — основы стереомет­ рии; в двенадцатой книге — метод исчерпывания Евдокса, в частности доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара и др. В заключительной, тринадцатой книге рассматривались свойства пяти правильных многогран­ ников, исследования которых восходили к Теэтету. Напом­ ним, что в правильных многогранниках Платон видел идеаль­ ные геометрические образы, выражающие основные структур­ ные отношения космоса.

Изложение математических знаний в «Началах» носило де­ дуктивный характер. Труд Евклида построен на основе опреде­ лений, постулатов и аксиом. Определения — это предложения, с помощью которых Евклид вводил математические понятия и пояснял их. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «линия есть длина без ширины», «куб есть телесная фигура, за­ ключающаяся между шестью равными квадратами» и др. Ак­ сиомы — это положения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Евклид приводит пять аксиом:

1.Равные одному и тому же, равны и между собой.

2.Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3.Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.

512	Глава 17. Естествознание эпохи эллинизма

4.Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

5.Целое больше части.

Важную роль в труде Евклида играли постулаты - это раз­ новидность аксиом, в которую входят утверждения о возмож­ ности геометрических построений. Постулатов в «Началах» Евклида пять:

1.От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3.Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4.Все прямые углы равны между собой.

5.Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат — знаменитый постулат о параллельных, который начиная с античности и до начала XIX в., до работ Н.И. Лобачевского, пытались трактовать как теорему, т.е. вы­ вести из остальных постулатов и аксиом.

Постулаты и аксиомы представляли собой положения, принимавшиеся без доказательства. Все остальные положения должны были доказываться. При всех своих логических недос­ татках (отсутствие аксиом порядка, движения и конгруэнтно­ сти и др.)1 «Начала» Евклида представляют собой первую об­ стоятельную попытку аксиоматического построения матема­ тического знания2 и в этом качестве являются фундаментом всего последующего развития математического познания вплоть до XIX в.

Есть и гносеологический аспект этого великого математиче­ ского труда. «Начала» Евклида не только отражали высокий тео­ ретический уровень развития математики, но и свидетельство-

1Они были выявлены уже в XIX в. В 1899 г. Д. Гильбертом была предложена строгая аксиоматика евклидовой геометрии.

2Не все наработки античной математики учтены в «Началах». Так, в них не представлены теория конических сечений, алгебраические и трансцендентные кривые, методы приближенных вычислений, средства построения ограничены циркулем и линейкой и др.

17.1. Александрийская математическая школа

513

вали о том, что рационально-понятийный способ мышления поднялся на качественно новый уровень. Через процедуры вы­ ведения и доказательства была построена теоретическая систе­ ма знаний о пространственных формах и количественных от­ ношениях бытия. Это предполагало осознанную проработку вопросов методологии познания. Здесь сознание не только сво­ бодно оперирует с содержанием операндной (образной) состав­ ляющей (процесс децентрации сознания завершился). Оно ока­ зывается способным трансформировать операциональные про­ цедуры таким образом, чтобы находить способы организации знания, адекватные структурной организации предмета позна­ ния, его внутренней логике. Достижение такой способности привело к идее аксиоматического построения знаний и выра­ ботке строгой схемы, «канона» математического доказательст­ ва - формулировка задачи, введение чертежа, формулировка по чертежу искомого, введение вспомогательных линий, доказа­ тельство в собственном смысле этого слова, обоснование того, что доказанное адекватно поставленной задаче.

В связи с этими особенностями когнитивной деятельности сознания впервые в истории математики возникает и проблема «существования» математических объектов. Как отмечает Н. Бурбаки, уже «Евклид заботился о том, чтобы постулиро­ вать существование круга и доказать существование равнобед­ ренного треугольника, параллельных линий, квадрата и т.д. по мере того, как он вводил их в свои рассуждения... Эти доказа­ тельства являются "конструкциями": иными словами, опира­ ясь на аксиомы, он вводил математические объекты и доказы­ вал, что они удовлетворяют тем определениям, которые надо оправдать»1. По сути здесь речь идет о том, что операции мыш­ ления сами становятся его операндами.

Аполлонии Пергский и вопрос о границах абстрактно-образного мышления. Среди древнегреческих математиков универсальной ученостью отличался Эратосфен (ок. 282—202 до н.э.), который при Птолемее III был главой Александрийской библиотеки. В математике Эратосфен известен своими исследованиями це-

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 2007. С. 24.

514	Глава 17. Естествознание эпохи эллинизма

лочисленных пропорций, открытием «решетки Эратосфена» (способ выделения простых чисел из любого конечного числа нечетных чисел, начиная с трех). У Эратосфена были труды не только по математике, но и по астрономии, географии, ис­ тории («Хронография», в которой он стремился определить важнейшие даты древнегреческой истории), философии и фи­ лологии (он написал историю комедии как драматического жанра).

Широко известны его работы по определению размеров земного шара (с достаточно высокой точностью он с помощью астрономических наблюдений определил длину земной ок­ ружности), в которых заложены основы математической гео­ графии. В своей «Географии» он не ограничивался картогра­ фическими описаниями, высказывая мысль о том, что Индии можно достичь, если плыть из Испании через Атлантический океан на запад, но и закладывал основы физической геогра­ фии: задумывался над фундаментальными проблемами геоло­ гии — искал причины землетрясений, вулканических изверже­ ний и т.д. Ему принадлежат поэмы о строении мира, сказания, связанные со звездами («Катастеризм»), и ряд других поэтиче­ ских произведений («Гермес» и др.), от которых до нас дошли только отдельные фрагменты.

В александрийской школе творил Никомед (III—II вв. до н.э.), известный открытием алгебраической кривой конхоиды (в по­ лярных координатах эта кривая имеет вид ρ = А + В /cos φ), ко­ торую он применял для решения задач удвоения куба и трисек­ ции угла.

Величайшим математиком древности был Аполлоний Пергский (ок. 260 - ок. 170 до н.э.). Он был учеником Евклида в александрийском Мусейоне, но основным местом его жизни и творчества был Пергам. В его основном сочинении «Кониче­ ские сечения» (8 книг) была разработана законченная теория кривых второго порядка — эллипса, параболы и гиперболы. Конические сечения стали предметом интереса античных ма­ тематиков в связи с необходимостью решать задачи, не под­ дающиеся построениям с помощью циркуля и линейки. По-

17.1. Александрийская математическая школа

515

степенно предметом исследования стали сами свойства кони­ ческих сечений. Аполлоний разработал теорию конических сечений в такой исчерпывающей форме, что никто из после­ дующих математиков (вплоть до Нового времени) к ней доба­ вить ничего не смог. Кроме того, Аполлоний предложил метод описания неравномерных периодических движений как ре­ зультат сложения более простых — равномерных круговых дви­ жений. Это стало важнейшей предпосылкой создания геоцен­ трической системы К. Птолемеем.

Аполлоний Пергский непосредственно приблизился к ос­ новам аналитической и проективной геометрии. Если пред­ шествующие математики исходили из конуса вращения, то Аполлоний берет более общий вид конической поверхности, образованной движением по окружности прямой (образую­ щей), постоянно проходящей через неподвижную точку (вер­ шину конуса), не лежащую в плоскости окружности, и рас­ сматривает произвольные плоские его сечения. И доказывает, что каков бы ни был угол при вершине таким образом постро­ енного конуса, его сечение плоскостью позволяет получить все три кривые, которые раньше рассматривались как сече­ ния прямоугольного, остроугольного и тупоугольного кону­ сов, — эллипс, параболу и гиперболу. Так обеспечивалось еди­ нообразие подхода ко всем видам конических сечений. Он де­ тально проанализировал свойства этих кривых, выявил их закономерности.

Особенность творчества Аполлония Пергского в том, что у него (как и у большинства древнегреческих математиков) не бы­ ло стремления сводить геометрические задачи к алгебраиче­ ским. Здесь математическое абстрагирование осуществляется еще преимущественно через обобщение образами, а не с по­ мощью абстрактных символов. Операциональные процедуры ограниченны и касаются в основном связей между образами, трансформаций образов. Здесь геометрическая алгебра еще да­ лека от перерастания в аналитическую геометрию. Показатель­ но определение параболы, которое дается Аполлонием: «Если конус пересечен плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая пересекает основание конуса по прямой,

516	Глава 17. Естествознание эпохи эллинизма

перпендикулярной основанию треугольника по оси, и если, кроме того, диаметр сечения параллелен той или другой из двух сторон треугольника по оси, то всякая прямая, которая прово­ дится от сечения конуса параллельно общему сечению текущей плоскости и основанию конуса до диаметра, взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику, заключенному прямо из диаметра, отрезанного от нее до вершины сечения, и некоторой другой прямой, которая имеет к прямой, взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение, какое квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику, заключенному осталь­ ными двумя сторонами треугольника. Такое сечение называется параболой»1. (В алгебраическим виде это определение может быть выражено простой формулой у1 = 2рх.)

В творчестве Аполлония Пергского античная геометрия до­ ходит до такого уровня, когда образное конструирование и абстрагирование через образное обобщение достигает своей кульминации. Дальнейшие шаги в этом направлении для ког­ нитивной деятельности сознания той эпохи наталкивались на почти непреодолимые трудности. Частично снять эти трудно­ сти можно было, обращаясь к механическим аналогиям, что и было осуществлено Архимедом. Принципиальное расши­ рение способов математического абстрагирования могло идти лишь по пути перехода от абстрактно-образного к абстракт­ но-символическому, алгебраическому мышлению. В этом на­ правлении античная математика сделала лишь первые робкие шаги, о которых мы можем судить по творчеству Диофанта.

Архимед и развитие механики. Из трех составных частей меха­ ники (статика, кинематика, динамика) в древнегреческий пе­ риод наиболее обстоятельно были разработаны статика и гид­ ростатика. Статика возникла в связи с запросами техники и вы­ ступила обобщением тысячелетней практики использования рычага, наклонной плоскости, расчетов архитектурных конст­ рукций. Основополагающую роль в возникновении статики и гидростатики сыграл Архимед (287-212 до н.э.).

1 Аполлоний Пергский. Конические сечения с комментариями Эвтокия // Из­ вестия Северо-Кавказского университета. 1928. Т. 3 (15). С. 141.

17.1. Александрийская математическая школа

517

Архимед родился на Сицилии, в г. Сиракузы, был сыном математика и астронома Фидия и родственником Гиерона, ставшего впоследствии тираном Сиракуз. Совершенствовал свои математические знания в Александрии, где занимался математикой, астрономией и механикой, теоретической и прикладной. Возвратившись в Сиракузы, Архимед продол­ жал поддерживать тесные отношения с александрийскими математиками (до нас дошла его переписка с ними). Вся дальнейшая деятельность Архимеда протекала в родном го­ роде до его гибели во время 2-й Пунической войны, осады Сиракуз римскими войсками и падения города. Архимед участвовал в обороне, руководил постройкой сложнейших технических сооружений, изобретал военные орудия. Во время взятия Сиракуз римлянами Архимед был убит, его библиотека разграблена1.

IIЦелый ряд античных авторов (Полибий, Плутарх и др.) подробно, хотя и не без преувеличений, рассказывают о машинах Архимеда, которые помогали отразить штурм Сиракуз. Мощные катапульты издалека швыряли тяжелые каменные глыбы на римские легионы, легкие катапульты близкого действия (так называемые скорпио­ ны) метали из бойниц град ядер; морские береговые краны обру­ шивали на римские корабли целые скалы или тяжелые свинцовые глыбы, подымали кранами нос корабля и затем сразу роняли судно вниз в море, так что оно опрокидывалось или заливалось водой. Римские солдаты были смертельно напуганы. Плутарх так описы­ вает их состояние: «Как только они замечали, что из-за крепост­ ной стены показывается веревка или бревно, то обращались в бег­ ство с криком, что вот Архимед еще придумал новую машину на их

|| погибель».

Кроме военных машин Архимеду приписываются такие изобретения, как архимедов винт (в античности применяв­ шийся для поливки полей, а впоследствии явившийся прооб­ разом корабельных и воздушных винтов); система рычагов,

1 На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и опи­ санного около него цилиндра с надписью, что объемы этих тел относятся как 2:3. Это — открытие Архимеда, которое он сам особенно ценил.

518	Глава 17. Естествознание эпохи эллинизма

блоков и винтов для поднятия и передвижения больших тяже­ стей; определение состава сплавов; и др. В области астрономии Архимеду принадлежит заслуга разработки научных инстру­ ментов — прибора для измерения видимого диаметра Солнца; планетария (приводившегося в движение водяным двигате­ лем), где можно было наблюдать движения планет, фазы Луны, солнечные и лунные затмения. Новые результаты в области прикладной механики сам Архимед не относил к своим науч­ ным достижениям. Античность ценила только теоретическую мысль. Здесь наука развивалась отдельно от материального производства1.

Архимеда справедливо называют родоначальником мате­ матической физики и основоположником механики как нау­ ки. Так, Архимеду принадлежит установление понятия центра тяжести тел. Он нашел положение центра тяжести многих тел, применяя при этом, в частности, и интеграционные методы. Кроме того, он теоретически доказал закон простого рычага (на основе ряда постулатов). Легенда приписывает Архимеду гордый тезис: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!»

В гидростатике Архимед открыл закон о равновесии и ус­ тойчивости погруженного в жидкость тела, носящий его имя, и теоретически (геометрическим методом) его доказал, разрабо­ тал метод экспериментального определения плотности и уста­ новил условия равновесия плавающих в жидкости сегмента шара и сегмента параболоида. Несмотря на то что появление работ по статике было вызвано техническими потребностями, сочинения Архимеда лишены видимой связи с практикой. По своему характеру они абстрактны и очень похожи на «Начала»

1 Показательна та характеристика творчества Архимеда, которая была дана Плутархом: «Архимед был человеком такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал написать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низмен­ ным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и со­ вершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни, - занятия, не сравнимые ни с какими другими, представляющие собою своего рода состязание между материей и доказательством, и в этом состязании первая являет величие и красоту, а второе - точность и невиданную силу» {Плутарх. Марцелл ; пер. СП. Маркиша// Сравнительные жизнеописания. В 2 т. Т. 1. М., 1994. С. 610).

17.1. Александрийская математическая школа

519

Евклида1. Архимед обосновывает тесную связь механического моделирования с развитием геометрического знания, демонст­ рирует взаимопроникновение методов математики и механи­ ки. Так, метод механической аналогии он использовал для ре­ шения задачи об объеме шара (сочинение «Послание к Эратосфену»).

Среди математических работ Архимеда, импульс для кото­ рых он получил во время своего пребывания в Александрии, особенно важны работы, связанные с развитием метода исчер­ пывания Евдокса и подходом к понятию определенного инте­ грала. Метод исчерпывания уходит своими корнями в попытки раскрытия отношений, существующих между кругом (простей­ шей криволинейной фигурой) и прямолинейными фигурами. С помощью метода исчерпывания Архимед вычислил площадь круга; решил проблему нахождения площади эллипса и площа­ ди фигуры, которую хорда отсекает от параболы; определил площадь фигуры, образованной спиралевидной кривой и двумя радиальными векторами; нашел формулы для определения объ­ ема и площади поверхности пирамиды, конуса, цилиндра и сфе­ ры, изучал трехмерные тела, образованные вращением кониче­ ских сечений вокруг их оси и др. Архимеду принадлежит заслуга открытия формулы для определения площади треугольника по трем сторонам (так называемая формула Герона).

Неудобства применявшейся древними греками алфавит­ ной системы счисления и неразработанность математической символики ограничивали операции с большими числами. Ар­ химед построил счисление, позволявшее оперировать с весьма большими числами.

Трудности вычисления значений иррациональных или трансцендентных чисел привели греческих математиков к идее приближения их рациональными числами. С помощью впи­ санных и описанных многоугольников Архимед определил, что число π лежит в промежутке между 31/7 и 310/71, a V3 в диапа-

1 В Средневековье результаты Архимеда в гидростатике были утеряны. Схола­ сты считали, что плавание тел зависит от их формы. И только Галилей возродил наследие Архимеда в гидростатике. См.: Начала гидростатики. Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль. М. ; Л., 1938.

520	Глава 17. Естествознание эпохи эллинизма

зоне: 1351/78о < V3 <265/ΐ33· Были получены результаты и для дру­ гих квадратичных иррациональностей.

В творчестве Архимеда проявилась внутренняя глубинная связь древнегреческой математики и физики, геометрии и ме­ ханики. Геометрическая, абстрактно-образная традиция древ­ негреческой геометрии выступала, по сути, математической теорией физического пространства. А теоретическая механика этой эпохи (статика и кинематика) — математической теорией равновесия тяжелых тел и законов их движения.

Наряду с теоретической механикой в эпоху эллинизма по­ лучила развитие и прикладная механика — создание разного рода механизмов и машин. Развитие прикладной механики оп­ ределили следующие факторы:

опроизводственная деятельность (прежде всего ремесленная) и строительство (создание сложных блоков, лебедок, зубчатой передачи и т.д.);

овоенное дело — создание метательной артиллерии и новых ти­ пов военных судов;

отеатральная техника, одним из элементов которой были подъ­ емные сценические устройства.

В эллинистической цивилизации использовались многие механические изобретения — винтовая, колесная, храповая, ис­ кривленная, шкивная цепи, винтовой пресс. Высокого уровня достигла осадная техника (гастрафет, т.е. металлический лук; катапульты, метавшие на 400 м стрелы весом до 1,5 кг; онагры, метавшие ядра и камни на расстояние до 300 м; тараны, гелеополы, т.е. огромные подвижные башни высотой до 50 м).

Судостроение позволяло создавать корабли водоизмещени­ ем до 300 τ (длиной до 40 м и шириной 4,5 м). На таком корабле располагалось до 170 гребцов и до 200 человек десанта. Наряду с трехпалубными триерами в IV в. до н.э. стали строить четырех- и пятипалубные корабли, на которых возводились боевые башни с метательными машинами. Примерно в начале новой эры поя­ вилась водяная мельница, которая заменяла живую силу живот­ ных и людей в трудоемких процессах. Это был первый механи­ ческий двигатель, явившийся прообразом современных гидрав­ лических турбин. Античность знала и элементы автоматики.