21. Міри центральної тенденції, їхні математичні якості та співставимість.

Найпростіше знайти міру центральної тенденції за допомогою моди (від латинського слова modus – міра, правило).

Мода – це значення ознаки, яке трапляється найчастіше в даному ряді розподілу.

Для дискретних варіаційних рядів мода визначається як значення ознаки з найбільшою частотою. Наприклад, якщо в універмазі протягом дня продано 200 дитячих костюмчиків – 38 штук 22 розміру, 42 штуки 24 розміру, 56 штук 26 розміру, 18 штук 28 розміру, 33 штуки 30 розміру і 13 штук 32 розміру, то модальним номером є 26 – й, бо він має найбільшу чисельність.Проте не кожна сукупність значень має єдину моду в строгому розумінні цього означення. В сукупності значень (3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9) модою є число 8, бо воно трапляється частіше за будь-яке інше значення. У випадку, коли всі значення в групі трапляються однаково часто, вважають, що група оцінок не має моди. Наприклад, у групі (1,2; 1,2; 1,7; 1,7; 4,8; 4,8) мо-ди немає. Якщо два сусідні значення мають однакову частоту і вона більша від частоти будь-якого іншого значення, мода є середнє цих двох значень. Наприклад, мода групи значень (1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) дорівнює 3,5 ((3 + 4) : 2). Якщо два несуміжні значення в групі мають рівні частоти і вони більші від частот будь-якого значення, то існує дві моди. Наприклад, у групі значень (7, 10, 10, 10, 11, 13, 14, 14, 14, 15) модами є 10 і 14. Медіана – середня величина змінюваної ознаки, яка міститься всередині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання значень ознаки.Медіана – це значення змінюваної ознаки, яке ділить множину даних навпіл, так що одна половина значень більша від медіани, а друга –менша.

Якщо дані містять непарне число різних значень, наприклад 9, 11, 15, 18, 20, то медіана є середнім значенням для випадку, коли вони впорядковані, тобто медіана дорівнює 15. Якщо дані містять парне число різних випадків, наприклад 7, 11, 13, 15, то медіана дорівнює середньому між двома центральними значеннями, якщо вони впорядковані, тобто (11 + 13) : 2 = 12. Статистика оперує такими середніми значеннями: середне арифметичне, середнє квадратичне, середнє геометричне. Середнє арифметичне. Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число , яке дістають діленням суми всіх даних вибірки х , х , х , …, х на число цих даних n.

= ,

або =

Середнє квадратичне відхилення знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою д («сигма» мала):Д

22. Множинна регресія. Коефіцієнти приватної та множинної кореляції.

Множинна регресія вивчає зв’язок між трьома або більше ознаками та має наступний вигляд:

,

де Yтеор – розрахункове значення регресії, яке є оцінкою очікуваного значення Y при фіксованих значеннях ознак Х1, ..., Хk;

Х1, ..., Хk – найбільш значимі незалежні змінні;

а0 – параметр, що показує усереднений вплив на результативний показник факторів, що не включені до моделі (або не виділені для дослідження);

а1, ..., аk – коефіцієнти регресії, кожний з яких показує на скільки одиниць зміниться Y зі зміною відповідної ознаки Х на одиницю за умови, що останні ознаки не зміняться.

При оцінці лінійного множинного зв’язку розраховують коефіцієнт множинної кореляції. Він відображає щільність зв’язку між залежною змінною та варіаціями всіх незалежних змінних, що включені до аналізу:

,де - факторна дисперсія; - загальна дисперсія. Коли оцінюється тіснота зв’язку між результативною Y та двома факторними ознаками X1, X2, то множинний коефіцієнт кореляції можна визначити за формулою:

де r – парні коефіцієнти кореляції між ознаками.

Множинний коефіцієнт кореляції змінюється в межах від 0 до 1 і є позитивною величиною: 0<R<1: R?0,3 – зв’язок практично відсутній (або не всі важливі фактори взаємозв’язку враховані, або вибрано невірну форму рівняння регресії. Необхідно переглянути змінні, що ввійшли в модель, та можливо її вид);0,3<R?0,5 – слабкий зв’язок;0,5<R?0,7 – помірний зв’язок;R>0,7 – сильний зв’язок. Кореляція - це статистична залежність між випадковимивеличинами, що не мають строго функціонального характеру, при якійзміна однієї з випадкових величин приводить до зміни математичногоочікування іншої. 1. Парна кореляція - зв'язок між двома ознаками (результативним та факторного або двома факторними). 2. Приватна кореляція - залежність між результативним і одним факторний ознаками при фіксованому значенні інших факторних ознак. 3. Множинна кореляція - залежність результативного і двох або більше факторних ознак, включених у дослідження. Кореляційний аналіз має своїм завданням кількісне визначення тісноти зв'язку між двома ознаками (при парній зв'язку) та міжрезультативною ознакою і безліччю факторних ознак (прибагатофакторної зв'язку). Тіснота зв'язку кількісно виражається величиною коефіцієнтівкореляції. Коефіцієнти кореляції, представляючи кількіснухарактеристику тісноти зв'язку між ознаками, що дають можливість визначити «Корисність» факторних ознак при побудові рівнянь множинної регресії. Величина коефіцієнтів кореляції служить також оцінкоювідповідності рівняння регресії виявлених причинно-наслідкових зв'язків.