§ 70. Пояснения к идее чистого учения о многообразии

Эти намеки покажутся, быть может, несколько темными. Что речь идет тут не о смутных фантазиях, а о концепциях с прочным содержа­нием, показывает "формальная математика" в самом общем смысле или учение о многообразии, этот плод высшего расцвета современной мате­матики . И действительно, это учение есть не что иное, как частичное осу­ществление только что намеченного идеала. Этим, разумеется, еще не сказано, что сами математики, руководимые первоначально интересами области чисел и величин и ограниченные этими интересами, правильно поняли идеальную сущность новой дисциплины и вообще возвысились до последней абстракции всеобъемлющего учения о теориях. Предмет­ный коррелят понятия возможной, определенной только по своей форме теории, есть понятие возможной области познания вообще, подчиненной теории такой формы. Но такую область математик (в своем кругу) на­зывает многообразием. Это есть, стало быть, область, которая единст­венно и исключительно определяется тем, что она подчинена теории та­кой-то формы,т.е.,что для ее объектов возможны известные связи,под­чиненные известным основным законам данной определенной формы (здесь это есть единственно определяющее). По своему содержанию эти объекты остаются совершенно неопределенными - математик, чтобы указать на это, охотно говорит об "объектах мышления". Они не опре­делены ни прямо, как индивидуальные или специфические единичности, ни косвенно своими внутренними видами или родами, а исключительно

347

только формой признанных за нами связей. Эти последние по содержа­нию так же мало определены, как и их объекты; определена только их форма, и она определяется именно формой элементарных законов, дей­ствие которых усматривается в ней. И эти законы определяют, как об­ласть, так и построяемую теорию или, вернее, форму теории. В учении о многообразии,например, + есть не знак сложения чисел, а знак такого соединения вообще, к которому применимы законы формы а + Ъ — Ъ + а и т. д. Многообразие определено тем, что его объекты мышления допу­скают эти "операции", как и другие, о которых можно доказать, что они a priori совместимы с первыми.

Самая общая идея учения о многообразии состоит в том, чтобы быть наукой, которая определенным образом развивает существенные типы возможных теорий и исследует их закономерные взаимоотношения. Тогда все действительные теории являются специализациями и сингу-ляризациями соответствующих им форм теорий, как и все теоретически обработанные области познания - отдельными многообразиями. Если в учении о многообразии действительно проведена соответствующая формальная теория, то этим исчерпана вся дедуктивная теоретическая работа построения всех действительных теорий той же формы.

Эта точка зрения имеет величайшее методологическое значение, и без нее нельзя и говорить о понимании математических методов. Не ме­нее важно связанное с переходом к чистой форме включение последней в более широкие формы и классы форм. Что именно в этом приеме за­ключается главный источник удивительного методологического искус­ства математики, показывает не только взгляд на учения о многообра­зии, которые выросли из обобщений геометрической теории и формы теории,но даже первый и самый простой случай этого рода, расширение реальной области чисел (или соответствующей формы теории, "фор­мальной теории реальных чисел") и превращение ее в формальную, уд­военную область простых комплексных чисел. И действительно, в этом воззрении лежит ключ к единственно возможному расширению все еще невыясненной проблемы, на каком основании, например, в области чи­сел с возможными (недействительными) понятиями можно обращаться, как с реальными. Однако здесь не место подробно развивать это.

Говоря выше о теориях многобразий, возникших из обобщений ге­ометрической теории,я разумел, конечно, учение о многообразиях п из­мерений - эвклидовых и неэвклидовых, далее, учение Грассмана о про­тяжении и родственные, легко отделимые от всего геометрического, те­ории В. А. Гамильтона и др. Сюда же относится учение Lie о трансфор­мационных группах, исследования G. Cantor 'а о числах и многообразиях и многие другие.

Рассматривая способ, которым посредством варьирования меры кривизны совершается взаимный переход между различными видами пространственноподобных многообразий, философ, изучивший начала теории Римана-Гельмгольца,может составить себе некоторое представ­ление о том, как чистые формы теорий определенно различного типа со­единяются между собой закономерными связями. Было бы легко пока-

348

зать, что познание истинного замысла подобных теорий как чисто ка­тегориальных форм теорий изгоняет всякий метафизический туман и всякую мистику из соответственных математических исследований. Ес­ли мы назовем пространством некоторую известную нам форму порядка мира явлений, то, разумеется, противоречиво говорить о "пространст­вах", для которых не имеет значения аксиома о параллелях; противоре­чиво также говорить о различных геометриях, поскольку геометрия есть именно наука о пространстве мира явлений. Но если мы под простран­ством понимаем категориальную форму мирового пространства и под геометрией - категориальную теоретическую форму геометрии в обыч­ном смысле, тогда пространство входит в подлежащий закономерному отграничению вид категориально определенных многообразий, в отно­шении которого естественно можно говорить о пространстве в более ши­роком смысле. И геометрическая теория тоже входит в соответствую­щий вид теоретически связанных и чисто категориально определенных . форм теорий, которые тогда в соответственно расширенном смысле можно называть "геометриями" этих "пространственных" многообра­зий. Во всяком случае, учение о "пространствах и измерений" осущест­вляет теоретически замкнутую часть учения о теориях в определенном выше смысле. Теория эвклидова многообразия о трех измерениях есть последняя идеальная единичность в этом закономерно связанном ряду априорных и чисто категориальных форм теорий (формальных дедук­тивных систем). Само это многообразие есть в отношении "нашего" про­странства, т. е. пространства в обычном смысле, соответствующая ему чисто категориальная форма, стало быть, идеальный вид, по отношению к которому наше пространство составляет,так сказать, индивидуальную единичность, а не видовое различие. Другой грандиозный пример есть учение о комплексных системах чисел, в пределах которой теория "про­стых" комплексных чисел есть опять-таки сингулярная единичность, а не последнее видовое различие. В отношении соответствующих теорий арифметика совокупности, арифметика порядковых чисел, арифметика quantite dirige'e и т. п. суть все в известном смысле индивидуальные еди­ничности . Каждой из них соответствует формальная видовая идея, в дан­ном случае учение об абсолютных целых числах, о реальных числах, о простых комплексных числах и т. д., причем "число" следует понимать в обобщенно формальном смысле.