Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы правая часть соотношения (23.6) равна нулю, вследствие чего p не

зависит от времени. Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения импульса, который формулируется следующим образом: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Отметим, что импульс остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, при условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если, даже сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, то составляющая импульса в этом направлении будет постоянной. Действительно, спроектировав все величины уравнения (23.6) на произвольное направление x и учитывая, что

d						=	d		f
				p				px
							dt
dt					npx				1
получим;
		d				N
					px = ∑Fxi,				(23.7)
		dt
						i=I

откуда и вытекает высказанное нами утверждение.

В соответствии с (23.3) из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Можно назвать много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Находясь, например, на скользком полу, невозможно сдвинуть с места как-либо предмет без того, чтобы самому не начать скользить в противоположном направлении. Действие ра (и реактивных двигателей) основано на том, что в результате выбрасывания из сопла ракеты струи образующихся при сгорании топлива газов ракете считается такой же по величине импульс, какой уносит собой газы

Глава III. Работа и энергия

§24. Работа

Пусть тело, на которое действует сила f, проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (i сил), противодействующей движению Действие f пути s характеризуется величиной, которая называется работой.

Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на
направление перемещения fs и пути s проходимого точкой приложи силы:
A = fs S.	(24.1)

Выражение (24.1) справедливо в том случае, если величина проекции силы fs на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается всё время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила f образует с

направлением движения постоянный угол α . Поскольку	fs = f cosα , выражению (24.1) можно
придать следующий вид:
A = fs cosα.	(24.2)

Работа — алгебраическая величина. Если сила и направление перемещения образуют острый угол ( cosα > 0 ), работа положительна. Если уголα — тупой ( cosα < 0 ), работа

1 См. формулы(2.11).

57

отрицательна. При α = π / 2 работа равно нулю. Последнее обстоятельство особо отчетливо показывает; что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, т. е. «совершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю.

Если величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во время движения, для вычисления работы следует разбить путь s на элементарные участки s , взяв их столь малыми чтобы,

Рис. 52.

за время прохождения телом такого участка величину fs можно было считать почти неизменной. Тогда работа силы на каждом элементарном участке приближенно равна

A fs s,

а работа на всём пути s может быть вычислена как сумма элементарных работ:
A = ∑ Ai ∑ fsi sl .	(24.3)

При устремлении всех si к нулю приближенное равенство (24.3) перейдет в строгое равенство:

A = lim ∑ fsi	si ∫ fsds	1
		(24.4)
si →0	s

На рис. 52 построен график fs как функции положения точки на траектории (горизонтальную ось можно назвать осью s, длина отрезка этой оси между точками l)

1 Ход рассуждений в данном случае точно такой, как при выводе формулы для пути, пройденного при неравномерном движении (см. § 4)

58

и 2 равна полной длине пути). Из рисунка видно, что элементарная работа Ai, численно равна площади заштрихованной полоски, а работа A на пути от точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой fs вертикальными прямыми 1 и 2 и осью s . Найдем работу, совершаемую при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. Растяжение будем производить медленно, чтобы силу, с которой мы действуем на пружину, можно было считать всё время равной по величине упругой силе f=kx, гдеx — удлинение пружины. Сила действует в направлении перемещения, так что fx=f.

Рис. 53.

Путь, проходимый точкой приложения силы, равен x (рис. 53), Как следует из рис. 53, работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины x, равна:

A = kx2		(24.5)
2	1

При сжатии пружины на величину x совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении. Проекция силы fx в этом случае отрицательна (сила, действующая на пружину, направлена влево, x растет вправо (см. рис. 53)), все x тоже отрицательны, вследствие чего fx x положительно.

Отметим, что работа упругой силы, т. е. силы, действующей со стороны пружины на деформирующее ее тело, и при растяжении, и при сжатии равна — kx2/2, момент времени равна по величине, но противоположна по направлению силе, вызывающей деформацию.

Единицы работы. В качестве единицы работы служит работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице:

1)в СИ единицей работы является джоуль (дж) который равен работе, совершаемой силой в

1ньютон на пути в 1 метр;

2)в СГС – системе — эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр;

3)в МКГСС – системе — килограммометр (кгс*м),равный работе, совершаемой силой в 1 кгс на пути в 1 метр.

Между единицами работы имеются соотношения:

1 Ход рассуждений в данном случае точно такой, как при выводе формулы для пути, пройденного при неравномерном движении (см. § 4)

59

1дж = 1н 1м = 105 дин 102 см = 102 см = 107 эрг; 1кгс м = 1кгс 1м = 9,81н 1м = 9,81дж.

Скалярное произведение векторов. Выражение для работы может быть представлено в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения.

Скалярным произведением двух векторов Аив называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (рис. 54). Символически скалярное произведение записывается в виде АВ, без какого-либо знака между символами векторов1.

Рнс.54.
Итак, скалярное произведение по определению равно
AB = AB cosα .	(24.6)
При α остром АВ больше нуля, при α тупом АВ меньше нуля; скалярное произведение
двух взаимно перпендикулярных векторов (α = π / 2 ) равно нулю.
Заметим, что под квадратом вектора подразумевают скалярное произведение вектора на
самого себя:
A2 = AA = AAcos 0 = A2	(24.7)
Выражению (24.6) можно придать следующий вид:
AB = AB cosα = A(B cosα ) = B(Acosα ).

(векторное произведение вектора на самого себя равно нулю). Следовательно, квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Из определения следует, что скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей, так что в отличие от векторного произведения скалярное произведение коммутативно.

Из рис. 54 видно, что B cosα равно BA — проекции вектора B на направление вектора A,

аналогично Acosα = AB — проекции вектора A на направление вектора B. Поэтому скалярному произведению можно дать и другое определение: скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго вектора на направление первого:

AB = AB B = ABA.

(24.8)

Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов. Отсюда следует что, A(B+C+…)=A(B+C+…)A=A(BA+CA+…)=ABA+ACA+…=AB+AC+…. Таким образом, скалярное произведение векторов дистрибутивно — скалярное произведение некоторого вектора A на сумму нескольких векторов равно сумме скалярных произведений вектора A на каждый из слагаемых векторов, взятый в отдельности.

Воспользовавшись скалярным произведением векторов, выражение для работы (24.4) можно записать в следующем виде:

1 Менее употребительны такие обозначения: A*B и (A, B).

60

			A = lim		∑	f		s =	∫	fds,	(24.9)
				si →0			i	i
									s
где под	s	подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали
через	r (модуль, элементарного перемещения |							r|| равен в пределе элементарному пути			s
(см, §3)).
Пусть на тело действуют одновременно несколько сил, результирующая которых
f	= ∑ fk .
равна	b	.
Из дистрибутивности скалярного произведения векторов, вытекает, что работа A,
совершаемая результирующей на пути				s, может быть вычислена по формуле
		A =	∑ fk		s = ∑( fk s) = ∑ Ak ,
			k			k				k

т. е. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Элементарное перемещение s может быть представлено как:

s = v

t

Поэтому формуле (24.9) можно придать вид:

t 2

A = lim

f v

t

=

∫

fvdt.

(24.10)

ti →0 ∑

i i

i

t1

В соответствии с (24,8) fs s=f sf где sf — проекция элементарного перемещения на

направление силы. Поэтому работу можно записать как

A = lim

f

(

s

)

=

∫

fds

.

(24.11)

( s f )− l →0 ∑

i

f

i

f

s

Рис. 55.

61