§72. Фигуры Лиссажу

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых

Рис. 179 Рис. 180

фигурами Лиссажу. На рис. 179 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении час тот 1:2 и разности фаз π / 2 ,

Рис. 181

Уравнения колебаний имеют вид

x = a cosωt,

y = cos(2ωt + π2 ).

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.

183

При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 180), по которой точка движется туда и обратно.

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 181 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фазπ / 2 .

§73. Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебании мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реально, колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. Раз колебания свободные, значит, система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

fr = −rv = −rx,

(73.1)

где r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «—» обусловлен тем, что f и v имеют противоположные направления.

Напишем для колеблющегося тела уравнение второго закона Ньютона;

mx = −kx − rx.
Перепишем его следующим образом:
x + 2β x + ω02 x = 0,					(73.2)
где применены обозначения:
2β =		r		,	(73.3)
		m
ω02 =	k		.		(73.4)
		m

Заметим, что ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные

колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т. е, при r=0. Эту частоту называют собственной, частотой колебаний системы,

В случае гармонического осциллятора размах колебаний» определяемый амплитудой а, остается постоянным. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому попробуем искать решение уравнения (73.2) в виде

x = a(t)cos(ωt + α )

(73.5)

где а(t) — некоторая функция времени. Продифференцировав (73.5) по t найдем x и x :

x = a cos(ωt + α ) − aω sin(ωt + α ),

x = a cos(ωt + α ) − 2aω sin(ωt + α ) − aω 2 cos(ωt + α ).

После подстановки этих выражений в уравнение (73.2) и несложных преобразований придем к следующему соотношению;

[a + 2β a + (ω 20 − ω 2 )a]cos(ωt + α ) − 2ω[a + β a]sin(ωt + α ) = 0.

184

Для того чтобы полученное нами уравнение удовлетворялось при любых значениях t, необходимо равенство нулю коэффициентов при cos(ωt + α ) и sin(ωt + α ) . Таким образом, мы

приходим к двум уравнениям:

	a + β a = 0,		(73.6)
a + 2β a + (ω02 − ω 2 )a = 0.			(73.7)
Уравнение (73.6) можно представить в виде
da	= −β a,откуда da	= −β dt.
dt	a
Интегрирование последнего уравнения даст ln a = −β t + ln a0 где через ln a0			обозначена

постоянная интегрирования. Наконец, произведя потенцирование найденного соотношения, получим для a(t) следующее выражение:

a = a0e− β t .

(73.8)

β 2a − 2β 2a + (ω02 − ω 2 )a = 0,

Легко видеть, что a = −β a и a = β 2a . Подстановка этих значений в уравнение (73.7) приводит к соотношению из которого после сокращения на отличный от нуля множитель а получается значение ω 2 :

	ω 2 = ω02 − β 2 .	(73.9)
При условии, что ω 2	> β 2 , величина ш будет вещественной, и решение дифференциального
0
уравнения (73.2) может быть представлено в виде (73,5). Таким образом, при не слишком
большом затухании (при β < ω0 ) колебания описываются функцией
	x = a0e− β t cos(ωt + α ).	(73.10)

График этой функции дан на рис. 182. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

Рис. 182.

В соответствии с видом функции (73.10) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону (73.8). Верхняя из пунктирных кривых на рис. 182 дает график функции a(t), причем величина а0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х0 зависит, кроме ас, также от начальной фазы α : x0 = a0 cosα (рис. 182).

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r / 2m , которую называют коэффициентом затухания, Найдем времяτ , за которое амплитуда уменьшается в е раз. По

185

определению e− βτ = e−1 , откуда βτ = 1 .Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз.

	Согласно формуле (73.9) период затухающих колебаний равен
	T =	2π		.	(73.11)
		ω 2	− β 2
		0

При незначительном сопротивлении среды ( β 2 << ω02 ) период колебаний практически равен T0 = 2π /ω0 С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, а’, а’’, а’’’ и т. д. на рис. 182) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если a ' = a0e− β t ,то

a ' = a e− β (t+T ) = a 'e− βT ,	, a ''' = a e− β (t+2T ) = a''−β t и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд,
0	0
соответствующих моментам времени» отличающимся на период, равно
		a(t)		= eβT .
		a(t + T )
	λ = ln		a(t)		= βT.	(73.12)
			a(t + T )

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:

Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив β через λ и Т в соответствии с (73.12), закон убывания амплитуды можно записать в

виде

− λ t

a = a0e T

За время τ , за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить Ne = τ /T колебаний.

Из условия е e− λ Tτ = e−1 получается, что λ Tτ = λ Ne = 1. .

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

Q =	π	= π Ne ,	(73.13)
	λ

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N-совершаемых системой за то время τ за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Найдем импульс системы, совершающей затухающие колебания. Продифференцировав функцию (73.10) по времени и умножив полученный результат на массу m получим

p = mx = −ma0e− β t [β cos(ωt + α ) + ω sin(ωt + α )].

это выражение может быть преобразовано к виду

			p = p0e− β t cos(ωt + α +ψ ),	(73.14)
где p = ma	0	ω 2 + β 2 = ma ω , ψ удовлетворяет условию
0		0	0

tgψ = − ωβ

186

Рис. 183

Если бы не множитель e− β t , то, исключив t из равнений (73. 10) и (73.14), подобно тому как это было осуществлено в §71, мы получили бы в координатах х и р

уравнение эллипса, повернутого по отношению к координатным осям. Наличие

экспоненциального множителя e− β t приводят к тому, что эллипс превращается в Скручивающуюся спираль (рис. 183). Эта спираль и представляет собой фазовую траекторию затухающего колебания. Она будет наклонена по отношению координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания р.

Из формулы (73.11) следует, что при ω02 − β 2 = 0 период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ дает, что при ω02 − β 2 ≤ 0 движение носит апериодический

(непериодический) характер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Рис. 184

На рис. 184 показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением х0 к положению равновесия с начальной скоростью v0 определяемой условием

187