этому состоянию значение, независимо от предыстории системы. Следовательно, измеление внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое будет всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершался переход, т. е, независимо от процесса или совокупности процессов, приведших к переходу системы из одного состояния в другое.

§95. Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия может изменяться за счет в основном двух различных процессов: совершения над телом работы А' и сообщения ему количества тепла Q. Совершение работы сопровождается перемещением внешних тел, воздействующих на систему. Так, например, при вдвигании поршня, закрывающего заключенный в сосуде газ, поршень, перемещаясь, совершает над газом работу А'. По третьему закону Ньютона газ при этом совершает над поршнем работу А=—А'

Сообщение телу тепла не связано с перемещением внешних тел и, следовательно, не связано с совершением над телом макроскопической (т. е. относящейся ко всей совокупности молекул, из которых состоит тело) работы. В этом случае изменение внутренней энергии обусловлено тем» что отдельные молекулы более нагретого тела совершают работу над отдельными молекулами тела, нагретого меньше. Передача энергии происходит при этом также через излучение. Совокупность микроскопических (т. е. захватывающих не все тело, а отдельные его молекулы) процессов, приводящих к передаче энергии от тела к телу, носит название теплопередачи.

Подобно тому как количество энергии, переданное одним телом другому, определяется работой А, совершаемой друг над другом телами, количество энергии, переданное от тела к телу путем теплопередачи, определяется количеством тепла Q, отданного одним телом другому. Таким образом, приращение внутренней энергии системы должно быть равно сумме совершенной над системой работы А' и количества сообщенного системе тепла Q:

U2 − U1 = Q + A'.

(95.1)

Здесь U1 и U2 — начальное и конечное значения внутренней энергии системы. Обычно вместо работы A, совершаемой внешними телами над системой, рассматривают работу А (равную — A'), совершаемую системой над внешними телами. Подставив — А вместо А' и разрешив относительно Q, уравнение (95.1) можно привести к виду

Q = U2 − U1 + A.

(95.2)

Уравнение (95.2) выражает закон сохранения энергии представляет собой содержание первого закона (начала) термодинамики. Словами его можно выразить следующим образом:

количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Сказанное отнюдь не означает, что всегда при сообщении тепла внутренняя энергия системы возрастает. Может случиться, что, несмотря на сообщение системе тепла, ее энергия не растет, а убывает (U2< U1). В этом случае согласно (95,2) А > Q, т. е. система совершает работу как за счет получаемого тепла Q, так и за счет запаса внутренней энергии, убыль которой равна U2- U1. Нужно также иметь в виду, что величины Q и А в (95.2) являются алгебраическими (Q<0 означает, что система в действительности не получает тепло, а отдает).

Из (95.2) следует, что количество тепла Q можно измерять в тех же единицах, что и работу или энергию. В СИ единицей количества тепла служит джоуль.

Для измерения количества тепла применяется также особая единица, называемая калорией. Одна калория равна количеству тепла, необходимому для нагревания 1 г воды oт 19,5 до 20,5°С. Тысяча калорий называется большой калорией или килокалорией.

Опытным путем установлено, что одна калория эквивалентна 4,18 дж. Следовательно, один джоуль эквивалентен 0,24 кал. Величина l=4,18 дж/кал называется механическим эквивалентом тепла.

Если величины, входящие в (95.2), выражены в разных единицах, то некоторые из этих величин нужно умножить на соответствующий эквивалент. Так, например, выражая Q в калориях а U а А в джоулях, соотношение (95.2) нужно записать в виде

228

Q= U2 − U1 + A

Вдальнейшем мы будем всегда предполагать, что Q, А и U выражены в одинаковых единицах, и писать уравнение первого начала б виде (95.2).

При вычислении совершенной системой работы или полученного системой тепла обычно приходится разбивать рассматриваемый процесс на ряд элементарных процессов, каждый из которых соответствует весьма малому (в пределе — бесконечно малому) изменению параметров системы. Уравнение (95.2) для элементарного процесса имеет вид

				′	U +	′		(95.3)
Q				Q =		A	U
					A			—
где ′	— элементарное количество тепла,				′	— элементарная работа и
приращение внутренней энергии системы в ходе данного элементарного процесса. Весьма
	Q		A
важно иметь в виду, что ′		и	′	нельзя рассматривать как приращения величин Q и А

соответствующее элементарному процессу какой-либо величины f можно рассматривать как приращение этой величины только в том случае, если ∑ f соответствующая переходу из

одного состояния в другое, не зависит от пути, по которому совершается переход, т. е. если величина f является функцией состояния. В отношении функции состояния можно говорить о ее «запасе» в каждом из состояний. Например, можно говорить о запасе внутренней энергии, которым обладает система в различных состояниях.

Как мы увидим в дальнейшем, величина совершенной системой работы и количество полученного системой тепла зависят от пути перехода системы из одного состояния в другое. Следовательно, ни Q, ни А не являются функциями состояния, в силу чего нельзя говорить о запасе тепла или работы, которым обладает система в различных состояниях.

Таким образом, в символ , стоящий при A и Q вкладывается иной смысл, чем в символ А, стоящий при U. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в первом случае А снабжено штрихом.

Символ	U	Q	A
		означает приращение внутренней энергии, символы ′	и ′	означают не

приращение, а элементарное количество теплоты и работы.

Чтобы произвести вычисления, в (95.3) переходят к дифференциалам. Тогда уравнение первого начала принимает следующий вид1:

d 'Q = dU + d ' A.

(95.4)

Интегрирование (95.4) по всему процессу приводит к выражению тождественному с уравнением (95.2).

Q = (U2 − U1 ) + A,

Еще раз подчеркнем, что, например, результат интегрирования d'A нельзя записать в виде

∫2 d ' A = A2 − A1.

1

Такая запись означала бы, что совершенная системой работа равна разности значений (т. е. запасов) работы во втором и нервом состояниях.

1 В уравнении (95.4) dU представляет собой полный дифференциал, dQ и dА не являются полными дифференциалами

229

§96. Работа, совершаемая телом при изменениях его объема

Рис. 213

Взаимодействие данного тела с соприкасающимися с ним телами можно охарактеризовать давлением, которое оно на них оказывает. С помощью давления можно описать взаимодействие газа со стенками сосуда, а также твердого или жидкого тела со средой (например, газом), которая его окружает. Перемещение точек приложения сил взаимодействия сопровождается изменением объема тела. Следовательно, работа, совершаемая данным телом над внешними телами, может быть выражена через давление и изменения объема тела.

Чтобы найти это выражение, рассмотрим следующий пример.

Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно пригнанным легко скользящим поршнем (рис, 213), Если по каким-либо причинам газ станет расширяться, он будет перемещать поршень и совершать над ним работу. Элементарная работа, совершаемая газом при перемещении поршня на отрезок h, равна

′A = f h

где f—сила, с которой газ действует на поршень. Заменяя эту силу произведением давления газа р на площадь поршня S, получаем:

′	h
A = ρS
Но S h представляет собой приращение объема газа		V. Поэтому выражение для
элементарной работы можно записать следующим образом:
′	V	(96.1)
A = ρ

Величина ’A в (96.10), очевидно, является алгебраической. Действительно, при сжатии газа направления перемещения h и силы f, с которой газ действует на поршень противоположны, вследствие чего элементарная работа ДМ будет отрицательна. Приращение объема V в этом случае также будет отрицательным. Таким образом, формула (96.1) дает правильное выражение для работы при любых изменениях объема газа.

Если давление газа остается постоянным (для этого должна одновременно изменяться соответствующим образом температура), работа, совершаемая при изменении объема от значения V1до значения V2 будет равна

A12 = p(V2 − V1 ).

(96.2)

Если же при изменении объема давление не остается постоянным, формула (96.1) справедлива только для достаточно малых V. В этом случае работа, совершаемая при конечных изменениях объема, должна вычисляться как сумма элементарных работ вида (96.1), т. е. путем интегрирования:

230

V
A12 = ∫2	pdV.	(96.3)
V1

Из сказанного в §93 ясно, что полученные нами формулы могут быть применены только к равновесным процессам.

Рис. 214.

Найденные выражения для работы справедливы при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим еще один пример. Возьмем твердое тело произвольной формы, погруженное в жидкую или газообразную среду, которая оказывает на тело одинаковое во всех точках давление р (рис. 214). Предположим, что тело расширяется так, что отдельные элементарные участки его поверхности Si получают

различные перемещения hi, Тогда i-й участок совершит работу ’Ai, равную ρ Si hi . Работа, совершаемая телом, может быть найдена как сумма работ отдельных участков:

′	′
A = ∑	Ai = ∑ ρ Si hi

Вынося за знак суммы одинаковое для всех участков р

Рис. 215
и замечая, что ∑ Si hi дает приращение объема тела V, можно написать:
′	V
A = ρ

т. е. и в общем случае мы приходим к формуле (96.1).

Изобразим процесс изменения объема тела на диаграмме (р, V) (рис. 215). Элементарной

работе	′	= ρ	Vi	соответствует площадь узкой заштрихованной полоски на графике.
	Ai

231